1 质量矢量化与二阶能量
1907年6月德国物理学家阿尔伯特·爱因斯坦(Albert Einstein)的论文《论相对性原理所要求的能量的惯性》[1]中首次出现质能方程
$$\begin{equation*}E = m c^{2} \tag{1 - 1}\end{equation*}$$
其中:
$E$ 相对论能量
$c$ 光速
$m$ 相对论质量
$$\begin{equation*}m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \tag{1 - 2}\end{equation*}$$
$m_{0}$ 静质量
$v$ 物体的速度
相对论动量表达式
$$\begin{equation*}p = mv \tag{1 - 3}\end{equation*}$$
1930年相对论能量-动量关系首次出现在英国物理学家保罗·狄拉克(Paul Dirac)的《The Principles of Quantum Mechanics》[2]中,对质能方程作适当变换可得相对论能量-动量方程
$$\begin{equation*}E^{2} = ( pc )^{2} + ( m_{0} c^{2} )^{2} \tag{1 - 4}\end{equation*}$$
对于一个速度$v = 0$的粒子,动量$p = 0$ ,相对论能量-动量方程变为
$$\begin{equation*}E^{2} = ( m_{0} c^{2} )^{2} \tag{1 - 5}\end{equation*}$$
假设$E$是正实数或者正虚数,且$c$是实数,开方可得
$$\begin{equation*}E = \sqrt{{m_{0}^{2}} c^{2}} \tag{1 - 6}\end{equation*}$$
在物理学中,像位移这样的物理量称为矢量,如速度、加速度、力和动量等都是矢量.仅有大小而没有方向的量称为标量,如质量、电荷、密度和温度等都是标量.
中国科学院物理所研究员曹则贤曾在德国留学,阅读过黑体辐射规律被发现过程的学术历史书籍,称黑体辐射是一个会下物理金蛋的鹅.在一次教授黑体辐射的课堂上提出问题,"你知道什么是温度吗?""你见过温度计吗?""同学们,天底下什么都有,就是没有温度计.没有哪个东西是测温度的.没有任何一个东西是测温度的.""那门口往你脑门戳一下,那是经过一个复杂的电路,校准的是,跳出来一个数字蒙你的,并不是你脑门的温度."1
温度是表示物体冷热程度的物理量,微观上来讲是物体分子热运动的剧烈程度.从分子运动论观点看,温度是物体分子运动平均动能的标志.温度只能通过物体随温度变化的某些特性来间接测量.2
类似的,没有直接测量质量的仪器,物理学上质量分为惯性质量和引力质量.惯性质量,运用牛顿第二定律$F = m a$,通过测量力和加速度可以间接测量.引力质量,运用牛顿万有引力定律$F = \frac{G M m}{r^{2}} = m g$ ,通过测量重力和重力加速度可以间接测量,通过测量万有引力常数、施加引力的天体质量、施加引力大小和施加引力的距离也可以间接测量.
在笛卡尔坐标系中,存在两个互相垂直的单位向量,复数可以表示为两个与单位向量共线的向量之和,这两个向量又可以进一步转化为实数与单位向量的乘积.对于等式$E = \sqrt{m_{0}^{2} c^{2}}$,当$m_{0}^{2} > 0$时,$E$是一个实数,$m_{0}$是一个实数;当$m_{0}^{2} < 0$时,$E$是一个虚数,$m_{0}$是一个虚数.
猜测:质量和能量也是一种向量,而不是标量,并且存在两种可能的维度.
对于等式$E^{2} = \left( m_{0} c^{2} \right)^{2}$ ,$E^{2}$是实数,可以取正数、0和负数,约定$E^{2}$为二阶能量,即系统内不同能量的平方和称为二阶能量.用$SOE$表示二阶能量.这里二阶能量是实数,不是虚数.
$$\begin{equation*}SOE = \sum_{i = 1}^{n} E_\mathrm{i}^{2} \tag{1 - 7}\end{equation*}$$
相对性的动能
$$\begin{equation*}E_\mathrm{KI} = E - E_\mathrm{I} = \gamma m_0 c^{2} - m_0 c^{2} = ( \gamma - 1 ) m_0 c^{2} \tag{1 - 8}\end{equation*}$$
其中:
$E$ 相对论总能量
$E_\mathrm{KI}$ 相对性的动能
$E_\mathrm{I}$ 静质量对应的相对论能量
$\gamma$ 洛伦兹因子
$$\begin{equation*}\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \tag{1 - 9}\end{equation*}$$
$\begin{flalign}\gamma - 1 = \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}-1\end{flalign}$
当$v ≪ c$时,$\frac{v}{c} ≈ 0$.
令$\frac{v}{c} =x$,可得
$x≈ 0$
$\begin{flalign}\gamma - 1 = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}-1\end{flalign}$
对上式在$x = 0$处使用泰勒公式进行展开
$\begin{flalign}\gamma-1=\operatorname{Series}\left[\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-1,\left\{x, 0,2\right\}\right]=\frac{1}{2} x^2 + O [x]^3\end{flalign}$
代入$x = \frac{v}{c}$,可得
$$\begin{equation*}\gamma-1 = \frac{1}{2}\left(\frac{v}{c}\right)^2 + O \left[\frac{v}{c}\right]^3\tag{1 - 10}\end{equation*}$$
代入1 - 8式
$$\begin{equation*}E_\mathrm{KI} = ( \frac{1}{2} ( \frac{v}{c} )^{2} + O \left[ \frac{v}{c}\right]^3 ) m_0 c^{2} = \frac{1}{2} m_0 v^{2} + m_0 c^{2} O \left[ \frac{v}{c} \right]^3 \tag{1 - 11}\end{equation*}$$
牛顿力学里面的动能$E_\mathrm{k}$
$$\begin{equation*}E_\mathrm{k} = \frac{1}{2} m_0 v^{2} \tag{1 - 12}\end{equation*}$$
考虑相对论效应相对性的动能中的高次项$E_\mathrm{KO}$
$$\begin{equation*}E_\mathrm{KO} = m_0 c^{2} O \left[ \frac{v}{c} \right]^3 \tag{1 - 13}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}E = E_\mathrm{I} + E_\mathrm{k} + E_\mathrm{KO} \tag{1 - 14}\end{equation*}$$
相对论总能量是静质量对应的能量$E_\mathrm{I}$ 、牛顿力学里面的动能$E_\mathrm{k}$ 、相对性的动能中的高次项$E_\mathrm{KO}$三者之和.
一个质量为$M$的A点和一个质量为$m_0$的B点组成一个孤立的系统.B相对于A的速度为$v$ ,A与B之间的距离为$r$ .对于B,牛顿力学里面的动能
$$\begin{equation*}E_\mathrm{k} = \frac{1}{2} m_{0} v^{2} \tag{1 - 15}\end{equation*}$$
B相对于整个系统的势能
$$\begin{equation*}E_\mathrm{p} = - \frac{ GM m_{0}}{r} \tag{1 - 16}\end{equation*}$$
加入势能后,B的所有能量
$$\begin{equation*}E_\mathrm{all} = E_\mathrm{I} + E_\mathrm{k} + E_\mathrm{KO} + E_\mathrm{p} \tag{1 - 17}\end{equation*}$$
当$v ≪ c$时,$E_\mathrm{KO}$是关于$\displaystyle\frac{v}{c}$的高阶无穷小量,$E_\mathrm{KO} ≈ 0$
$$\begin{equation*}E_\mathrm{all} = E_\mathrm{I} + E_\mathrm{k} + E_\mathrm{p} \tag{1 - 18}\end{equation*}$$
根据能量守恒定律,$E_\mathrm{all}$是一个定值,总能量不变.
B的二阶能量
$$\begin{equation*}SOE = E_\mathrm{I}^{2} + E_\mathrm{k}^{2} + E_\mathrm{p}^{2} \tag{1 - 19}\end{equation*}$$
因为$E_\mathrm{all}$是一个定值,$E_\mathrm{I} = m_0 c^{2}$也是一个定值,设$E_\mathrm{kp} = E_\mathrm{all} - E_\mathrm{I}$,$E_\mathrm{kp}$也是一个定值,代入1 - 18式,可得
$$\begin{equation*}E_\mathrm{kp} = E_\mathrm{k} + E_\mathrm{p} \tag{1 - 20}\end{equation*}$$
由1 - 19式、1 - 20式可得
$$\begin{equation*}SOE = E_\mathrm{I}^{2} + E_\mathrm{k}^{2} + ( E_\mathrm{kp} - E_\mathrm{k} )^{2} = E_\mathrm{I}^{2} + E_\mathrm{kp}^{2} + 2 E_\mathrm{k}^{2} - 2 E_\mathrm{kp} E_\mathrm{k} \tag{1 - 21}\end{equation*}$$
绘制二阶能量关于动能的函数图像
图1 二阶能量关于动能的函数图像
Figure 1 Graph of the function of second-order energy with respect to kinetic energy
由图像可得,当动能变化时,二阶能量不是定值,是一个变化的曲线.当动能为0或者势能为0时,二阶能量是一个定值.
结论:
在一个封闭的系统,对于一个物体,在速度远小于光速、机械能不与其他能量交换情况下,当动能为0或者势能为0时,机械能的二阶能量守恒.
笛卡尔坐标系中,实数轴的单位向量使用$k$表示,虚数轴的单位向量使用$i$表示.由复数的运算法则可得:
$$\begin{equation*}i^{2} = - k \tag{1 - 22}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}k^{2} = k \tag{1 - 23}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}k^{2} = - i^{2} \tag{1 - 24}\end{equation*}$$
规定:一个数学中的实数乘以一个实数轴的单位向量,也称为实数.二者的不同通过上下文来区分,区别的依据是这个数是否含有实数向量的乘积.
当$m_{0}^{2} > 0$时,$m_{0} = m_{00} k$,$m_{00}$是一个实数.当$m_{0}^{2} < 0$时,$m_{0} = m_{00} i$,$m_{00}$是一个实数.约定当$m_{0}^{2} > 0$时,$E$改写为$E_\mathrm{m}$,$m_{0}$改写为$m_{0 m}$;当$m_{0}^{2} < 0$时,$E$改写为$E_\mathrm{d}$,$m_{0}$改写为$m_{0 d}$.
$E_\mathrm{m} = m_{00} c^{2} \sqrt{k^{2}} = m_{00} c^{2} k$
$E_\mathrm{m} = m_{00} c^{2} \sqrt{- i^{2}} = \sqrt{- 1} m_{00} c^{2} i$
$m_{0 m} = m_{00} \sqrt{k^{2}} = m_{00} k$
$m_{0 m} = m_{00} \sqrt{- i^{2}} = \sqrt{- 1} m_{00} i$
$E_\mathrm{d} = m_{00} c^{2} \sqrt{- k^{2}} = \sqrt{- 1} m_{00} c^{2} k$
$E_\mathrm{d} = m_{00} c^{2} \sqrt{i^{2}} = m_{00} c^{2} i$
$m_{0 d} = m_{00} \sqrt{- k^{2}} = \sqrt{- 1} m_{00} k$
$m_{0 d} = m_{00} \sqrt{i^{2}} = m_{00} i$
在$k$作为质量单位向量的标准下,相对论静质量对应的能量和静质量可以表示为:
$$\begin{equation*}E_\mathrm{m} = m_{00} c^{2} k \tag{1 - 25}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}E_\mathrm{d} = \sqrt{- 1} m_{00} c^{2} k \tag{1 - 26}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}m_{0 m} = m_{00} k \tag{1 - 27}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}m_{0 d} = \sqrt{- 1} m_{00} k \tag{1 - 28}\end{equation*}$$
在$i$作为质量单位向量的标准下,相对论静质量对应的能量和静质量可以表示为:
$$\begin{equation*}E_\mathrm{m} = \sqrt{- 1} m_{00} c^{2} i \tag{1 - 29}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}E_\mathrm{d} = m_{00} c^{2} i \tag{1 - 30}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}m_{0 m} = \sqrt{- 1} m_{00} i \tag{1 - 31}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}m_{0 d} = m_{00} i \tag{1 - 32}\end{equation*}$$
假设当$m_{0}^{2} > 0$时,$E_\mathrm{m}$对应于物质的相对论能量;当$m_{0}^{2} < 0$时,$E_\mathrm{d}$对应于暗物质的相对论能量.
在上面的假设条件下,站在物质世界的角度,暗物质世界的能量和质量与物质世界的能量和质量是虚数乘积关系;站在暗物质世界的角度,物质世界的能量和质量与暗物质世界的能量和质量也是虚数乘积关系.
相对论揭示时间和空间是相对的.在上面假设条件下,能量和质量也是相对的.任何建立在能量、质量基础上的物理量也是相对的,物理量的实际数值会因以物质世界为参照标准还是暗物质世界为参照标准而不同.
在能量是一个向量的前提下,物质世界与暗物质世界的能量和是一个复数,这种情况下能量守恒定律可能会失效,因为能量守恒定律对应的是标量的不变.物质世界与暗物质世界的二阶能量和是一个实数,猜测物质世界与暗物质世界的二阶能量和存在守恒定律.