15 理想宇宙膨胀模型

下面提出的宇宙概念包含一些假说.

可观测宇宙:目前天文望远镜能观测的最大距离为边缘包含的所有天体.可观测宇宙内部,星系与星系之间的距离随着时间流逝而增加.

球状膨胀宇宙:可观测宇宙是球状膨胀宇宙的一部分.球状膨胀宇宙中的星系与星系之间的距离随着时间流逝而增加.球状膨胀宇宙的边缘外部没有天体.

图49 球状膨胀宇宙与可观测宇宙示意图

Figure 49 Schematic diagram of the spherical expanding universe and the observable universe

下面开始对球状膨胀宇宙作动力学分析.把球状膨胀宇宙视作一个均匀的球体B,半径为$R$.每一个星系视作一个点,球体内部视作暗物质和物质均匀分布.以球状膨胀宇宙边缘一点C作为分析对象.C的加速度为$a$,质量为$m$,C受到B的重力为$F$,根据牛顿第二运动定律有

$$\begin{equation*}a = \frac{F}{m} \tag{15 - 1}\end{equation*}$$

B的总质量为$M$,根据万有引力定律

$$\begin{equation*}F = \frac{GMm}{R^{2}} \tag{15 - 2}\end{equation*}$$

假设B和C都含有相同比例的物质暗物质,物质质量和暗物质质量的单位分别是c类实数和c类虚数,下标m表示物质,下标d表示暗物质,对于B和C的质量有关系式

$$\begin{equation*}M = M_\mathrm{m} k + M_\mathrm{d} i \tag{15 - 3}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*}m = m_\mathrm{m} k + m_\mathrm{d} i \tag{15 - 4}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*}M_\mathrm{d} = k_\mathrm{d} M_\mathrm{m} \tag{15 - 5}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*}m_\mathrm{d} = k_\mathrm{d} m_\mathrm{m} \tag{15 - 6}\end{equation*}$$

把15 - 2、15 - 3、15 - 4、15 - 5、15 - 6代入15 - 1式

$$\begin{equation*}a = \frac{G}{R^{2}} \frac{( M_\mathrm{m} k + k_\mathrm{d} M_\mathrm{m} i ) ( m_\mathrm{m} k + k_\mathrm{d} m_\mathrm{m} i )}{m_\mathrm{m} k + k_\mathrm{d} m_\mathrm{m} i} \tag{15 - 7}\end{equation*}$$

上式右边后面一个分式的分母作恒定变换

$$\begin{equation*}( M_\mathrm{m} k + k_\mathrm{d} M_\mathrm{m} i ) ( m_\mathrm{m} k + k_\mathrm{d} m_\mathrm{m} i ) = ( k^{2} + 2 ik k_\mathrm{d} + i^{2} k_\mathrm{d}^{2} ) M_\mathrm{m} m_\mathrm{m} \tag{15 - 8}\end{equation*}$$

对于c类复数单位矢量乘积法则有

$$\begin{equation*}k^{2} = k , i^{2} = - k , ik = k \tag{15 - 9}\end{equation*}$$

15 - 9式代入15 - 8式右边第一个因式

$$\begin{equation*}k^{2} + 2 ik k_\mathrm{d} + i^{2} k_\mathrm{d}^{2} = ( 1 + 2 k_\mathrm{d} - k_\mathrm{d}^{2} ) k \tag{15 - 10}\end{equation*}$$

代入15 - 7式

$$\begin{equation*}a = \frac{G}{R^{2}} \frac{( M_\mathrm{m} m_\mathrm{m} ( 1 + 2 k_\mathrm{d} - k_\mathrm{d}^{2} ) ) k}{m_\mathrm{m} ( k + k_\mathrm{d} i )} = \frac{G M_\mathrm{m}}{R^{2}} \frac{( 1 + 2 k_\mathrm{d} - k_\mathrm{d}^{2} ) k}{( k + k_\mathrm{d} i )} \tag{15 - 11}\end{equation*}$$

c类复数的除法法则有

$$\begin{equation*}\frac{a k}{c k + d i} = \frac{a}{c + d} k \tag{15 - 12}\end{equation*}$$

对15 - 11式使用上面的除法法则

$$\begin{equation*}a = \frac{G M_\mathrm{m}}{R^{2}} \frac{ 1 + 2 k_\mathrm{d} - k_\mathrm{d}^{2} }{1 + k_\mathrm{d}} k \tag{15 - 13}\end{equation*}$$

令

$$\begin{equation*}k_\mathrm{p} = \frac{ 1 + 2 k_\mathrm{d} - k_\mathrm{d}^{2} }{1 + k_\mathrm{d}} \tag{15 - 14}\end{equation*}$$

令$G \to G \frac {1}{k}$,可得

$$\begin{equation*}a = \frac{G M_\mathrm{m}}{R^{2}} k_\mathrm{p} \tag{15 - 15}\end{equation*}$$

绘制$k_\mathrm{p}$的函数图像

图50 $k_\mathrm{p}$的函数图像

Figure 50 Graph of the function of $k_\mathrm{p}$

结合图像,易得:

当$0 ≤ k_\mathrm{d} < 1 + \sqrt{2}$时,$a > 0$.

当$k_\mathrm{d} = 1 + \sqrt{2}$时,$a = 0$.

当$k_\mathrm{d} > 1 + \sqrt{2}$时,$a < 0$.

约定两个物体之间重力是引力时候重力的数值为正,那么重力为斥力的时候重力数值为负.分析宇宙膨胀的时候,加速度按照前面的规定,符号为负.为了方便分析,在另一个体系,重新规定加速度的正方向.

令

$$\begin{equation*}a_\mathrm{r} = - a \tag{15 - 16}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*}k_\mathrm{r} = - k_\mathrm{p} \tag{15 - 17}\end{equation*}$$

代入15 - 15式

$$\begin{equation*}a_\mathrm{r} = \frac{G M_\mathrm{m}}{R^{2}} k_\mathrm{r} \tag{15 - 18}\end{equation*}$$

前面对于C的分析,也可以用于球状膨胀宇宙B里面任意一点,因为根据壳层定理,均匀对称球体内部的物体不受其外部球壳的重力影响.在B内部一点,去除球体半径大于该点所在半径的球壳部分,可以视作剩下来的球体对球面任意一点提供全部的重力.

为了简化分析,提出理想的宇宙膨胀条件.

假设在时刻$t = 0$之前,球体B的暗物质与物质的比例$k_\mathrm{d} = 1 + \sqrt{2}$,球体B的所有点的速度都是0,加速度是0,位移也是0,B内任意一点C的半径是$R_{0}$,球体B的物质密度是$\rho$,球体内部各点处于静止状态.时刻$t = 0$之后,球体B的暗物质与物质的比例$k_\mathrm{d} > 1 + \sqrt{2}$,并且$k_\mathrm{d}$保持不变,C点的相对于原来C点位置的位移是$s [t]$,C点的半径是$R$,球体处于膨胀状态.以$R$为半径的球体部分物质总质量是$M_\mathrm{m}$.

根据加速度的定义

$$\begin{equation*}a_\mathrm{r} = s^{' '} [t] \tag{15 - 19}\end{equation*}$$

由球体体积公式和密度定义

$$\begin{equation*}M_\mathrm{m} = \rho \frac{4}{3} \pi R_{0}^{3} \tag{15 - 20}\end{equation*}$$

C点半径与位移的关系

$$\begin{equation*}R = R_{0} + s [t] \tag{15 - 21}\end{equation*}$$

把15 - 19、15 - 20、15 - 21代入15 - 18式

$$\begin{equation*}s^{' '} [t] = \frac{4 Gπ\rho k_\mathrm{r} R_{0}^{3}}{3 ( s [t] + R_{0} )^{2}} \tag{15 - 22}\end{equation*}$$

这是一个一般二阶微分方程,使用一般的数学软件微分方程求解功能无法求解或者结果比较复杂,参考^[39],采取手动积分策略.

根据微积分中导数的定义可得

$$\begin{equation*}s_{0} = s [t] \tag{15 - 23}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*}s_{1} = s^{'} [t] = \frac{\mathrm{d}[s_{0}]}{\mathrm{d}[t]} \tag{15 - 24}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*}s_{2} = s^{' '} [t] = \frac{\mathrm{d}[s_{1}]}{\mathrm{d}[t]} = \frac{\mathrm{d} \left[ \frac{\mathrm{d}[s_{0}]}{\mathrm{d}[t]} \right]}{\mathrm{d}[t]} = f [s_{0}] = \frac{4 Gπ\rho k_\mathrm{r} R_{0}^{3}}{3 ( s [t] + R_{0} )^{2}} \tag{15 - 25}\end{equation*}$$

上式中$f [s_{0}]$代表以$s_{0}$的函数,注意这是一个临时变量.

由球体膨胀的初始条件可得

$s_{0} ≥ 0$,$s_{1} ≥ 0$,$s_{2} ≥ 0$

令

$$\begin{equation*}u = s_{1}^{2} \tag{15 - 26}\end{equation*}$$

微积分链式法则有

$$\begin{equation*}\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dx} \tag{15 - 27}\end{equation*}$$

应用上式可得

$$\begin{equation*}\frac{\mathrm{d}[u]}{\mathrm{d}[u]} \frac{\mathrm{d}[u]}{\mathrm{d}[s_{1}]} = \frac{\mathrm{d}[u]}{\mathrm{d}[s_{1}]} \tag{15 - 28}\end{equation*}$$

把15 - 26式代入上式

$\begin{flalign}\frac{\mathrm{d}[u]}{\mathrm{d}[u]} \frac{\mathrm{d}[u]}{\mathrm{d}[s_{1}]} = \frac{\mathrm{d}[s_{1}^{2}]}{\mathrm{d}[s_{1}]}\end{flalign}$

$\begin{flalign}\frac{\mathrm{d}[u]}{\mathrm{d}[s_{1}]} = 2 s_{1}\end{flalign}$

恒等变换可得

$$\begin{equation*}\mathrm{d}[s_{1}] = \frac{\mathrm{d}[u]}{2 s_{1}} \tag{15 - 29}\end{equation*}$$

15 - 24、15 - 25式提取部分可得

$$\begin{equation*}\frac{\mathrm{d}[s_{1}]}{\mathrm{d}[t]} = f [s_{0}] \tag{15 - 30}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*}s_{1} = \frac{\mathrm{d}[s_{0}]}{\mathrm{d}[t]} \tag{15 - 31}\end{equation*}$$

联合15 - 29、15 - 30、15 - 31式,可得

$$\begin{equation*}\mathrm{d}[u] = 2 f [s_{0}] \mathrm{d}[s_{0}] \tag{15 - 32}\end{equation*}$$

对上式积分,结果中$c_{1}$是常数项

$$\begin{equation*}u = 2 \int f [s_{0}] \mathrm{d}[s_0] + c_{1} \tag{15 - 33}\end{equation*}$$

把15 - 26式代入上式,并求解$s_{1}$

$\begin{flalign}\left\{\left\{s_1 \rightarrow-\sqrt{2 \int f[s_0] \mathrm{d}[s_0]+c_1}\right\},\left\{s_1 \rightarrow \sqrt{2 \int f[s_0] \mathrm{d}[s_0]+c_1}\right\}\right\}\end{flalign}$

$s_{1}$存在两个解,已知$s_{1} ≥ 0$,舍去不复合条件的解可得

$$\begin{equation*}s_{1} = \sqrt{2 \int f [s_{0}] \mathrm{d}[s_0] + c_{1} } \tag{15 - 34}\end{equation*}$$

上式代入15 - 31式可得

$$\begin{equation*}\mathrm{d}[t] = \frac{ \mathrm{d}[s_0]}{\sqrt{\displaystyle 2 \int f [s_0] \mathrm{d}[s_0] + c_{1}} } \tag{15 - 35}\end{equation*}$$

对上式积分,结果中$c_{2}$是常数项

$$\begin{equation*}t= \int (\frac{1}{\displaystyle\sqrt{ 2 \int f[s_0] \mathrm{d}[s_0]+c_1}} ) \mathrm{d}[s_0]+c_2 \tag{15 - 36}\end{equation*}$$

15 - 25式提取部分可得

$$\begin{equation*}f [s_{0}] = \frac{4 Gπ\rho k_\mathrm{r} R_{0}^{3}}{3 ( s [t] + R_{0} )^{2}} \tag{15 - 37}\end{equation*}$$

令

$$\begin{equation*}\frac{4}{3} G k_\mathrm{r} π\rho = k_\mathrm{c} \tag{15 - 38}\end{equation*}$$

15 - 37式变为

$\begin{flalign}f [s_{0}] = \frac{k_\mathrm{c} R_{0}^{3}}{( s [t] + R_{0} )^{2}}\end{flalign}$

把15 - 23式代入上式

$$\begin{equation*}f [s_{0}] = \frac{k_\mathrm{c} R_{0}^{3}}{( s_{0} + R_{0} )^{2}} \tag{15 - 39}\end{equation*}$$

15 - 39式分别代入15 - 34、15 - 36式

$\begin{flalign} s_1 = \sqrt{2 \int \frac{k_{\mathrm{c}} R_0^3}{\left(s_0+R_0\right)^2} \mathrm{d}[s_0]+c_1} = \sqrt{c_1-\frac{2 k_{\mathrm{c}} R_0^3}{R_0+s_0}} \end{flalign}$

$\begin{flalign}t=\int (\frac{1}{\sqrt{2 \int \frac{k_{\mathrm{c}} R_0^3}{\left(s_0+R_0\right)^2} \mathrm{d}[s_0]+c_1}} ) \mathrm{d}[s_0]+c_2=\int (\frac{1}{\sqrt{c_1-\frac{2 k_{\mathrm{c}} R_0^3}{R_0+s_0}}} ) \mathrm{d}[s_0]+c_2\end{flalign}$

对上面的等式代入边界条件$\left\{ s_{0} → 0 , s_{1} → 0 , t → 0 \right\}$可得

$c_{1} = 2 k_\mathrm{c} R_{0}^{2}$

$c_{2} = 0$

$c_{1}$、$c_{2}$代入前面的等式进一步运算

$$\begin{equation*}s_{1} = \sqrt{2 k_\mathrm{c} R_{0}^{2} - \frac{2 k_\mathrm{c} R_{0}^{3}}{R_{0} + s_{0}}} \tag{15 - 40}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*}t = \frac{\tanh^{- 1} \left[\frac{\sqrt{2 k_\mathrm{c} R_{0}^{2} - \frac{2 k_\mathrm{c} R_{0}^{3}}{R_{0} + s_{0}}}}{\sqrt{2} \sqrt{k_\mathrm{c} R_{0}^{2}}}\right] k_\mathrm{c} R_{0}^{3}}{\sqrt{2} ( k_\mathrm{c} R_{0}^{2} )^{3 / 2}} + \frac{( R_{0} + s_{0} ) \sqrt{2 k_\mathrm{c} R_{0}^{2} - \frac{2 k_\mathrm{c} R_{0}^{3}}{R_{0} + s_{0}}}}{2 k_\mathrm{c} R_{0}^{2}} \tag{15 - 41}\end{equation*}$$

由15 - 22、15 - 25、15 - 38式可得

$$\begin{equation*}s_{2} = \frac{k_\mathrm{c} R_{0}^{3}}{( R_{0} + s_{0} )^{2}} \tag{15 - 42}\end{equation*}$$

下面对上式用另一种方法验证,以保证手动积分的正确性.

对15 - 25式作恒定变换

$\begin{flalign}s_{2} = \frac{\mathrm{d}[s_{1}]}{\mathrm{d}[t]} = \frac{\mathrm{d}[s_{1}]}{\mathrm{d}[s_{0}]} \frac{\mathrm{d}[s_{0}]}{\mathrm{d}[t]}\end{flalign}$

15 - 24式得

$\begin{flalign}s_{1} = \frac{\mathrm{d}[s_{0}]}{\mathrm{d}[t]}\end{flalign}$

上面两式联合可得

$\begin{flalign}s_{2} = \frac{\mathrm{d}[s_{1}]}{\mathrm{d}[s_{0}]} s_{1}\end{flalign}$

15 - 40式代入上式

$\begin{flalign}s_{2} = \frac{\mathrm{d}\left[\sqrt{2 k_\mathrm{c} R_{0}^{2} - \frac{2 k_\mathrm{c} R_{0}^{3}}{R_{0} + s_{0}}}\right]}{\mathrm{d}[s_{0}]} \sqrt{2 k_\mathrm{c} R_{0}^{2} - \frac{2 k_\mathrm{c} R_{0}^{3}}{R_{0} + s_{0}}}\end{flalign}$

对上面的微分运算求解、化简可得

$\begin{flalign}s_{2} = \frac{k_\mathrm{c} R_{0}^{3}}{( R_{0} + s_{0} )^{2}}\end{flalign}$

这与15 - 42式一致,不存在矛盾.

前面是用$s_{0}$、$s_{1}$、$s_{2}$分别表示$s$的0阶导数、1阶导数、2阶导数,下面更换成运动学常用的符号,用$s$表示C的位移、$v_\mathrm{r}$表示C的速度、$a_\mathrm{r}$表示C的加速度.

令$s = s_{0}$,$v_\mathrm{r} = s_{1}$,$a_\mathrm{r} = s_{2}$,代入15 - 40、15 - 41、15 - 42式.结果中,以$s$为自变量可以得到位移、时间、速度、加速度.

$$\begin{equation*}s = s \tag{15 - 43}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*}t = \frac{\displaystyle\tanh^{- 1} \left[\frac{\sqrt{2 k_\mathrm{c} R_{0}^{2} - \frac{\displaystyle 2 k_\mathrm{c} R_{0}^{3}}{\displaystyle s + R_{0}}}}{\sqrt{2} \sqrt{k_\mathrm{c} R_{0}^{2}}}\right] k_\mathrm{c} R_{0}^{3}}{\sqrt{2} ( k_\mathrm{c} R_{0}^{2} )^{3 / 2}} + \frac{\displaystyle( s + R_{0} ) \sqrt{2 k_\mathrm{c} R_{0}^{2} - \frac{2 k_\mathrm{c} R_{0}^{3}}{s + R_{0}}}}{2 k_\mathrm{c} R_{0}^{2}} \tag{15 - 44}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*}v_\mathrm{r} = \sqrt{2 k_\mathrm{c} R_{0}^{2} - \frac{2 k_\mathrm{c} R_{0}^{3}}{s + R_{0}}} \tag{15 - 45}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*}a_\mathrm{r} = \frac{k_\mathrm{c} R_{0}^{3}}{( s + R_{0} )^{2}} \tag{15 - 46}\end{equation*}$$

15 - 44式中,等式左边是$t$,右边是关于$s$的复杂函数.这是一个关于$s$的超越方程,目前无法得到$s$关于$t$的代数解析式.

15 - 44、15 - 45、15 - 46式代入常数项$\left\{ k_\mathrm{c} → 1 , R_{0} → 1 \right\}$,得

$\begin{flalign}t = \frac{1}{2} ( 1 + s ) \sqrt{2 - \frac{2}{1 + s}} + \frac{\tanh^{- 1} \left[{\displaystyle\frac{\sqrt{2 - \frac{2}{1 + s}}}{\sqrt{2}}}\right]}{\sqrt{2}}\end{flalign}$

$\begin{flalign}v_\mathrm{r} = \sqrt{2 - \frac{2}{1 + s}}\end{flalign}$

$\begin{flalign}a_\mathrm{r} = \frac{1}{( 1 + s )^{2}}\end{flalign}$

绘制$s$、$t$、$v_\mathrm{r}$、$a_\mathrm{r}$的函数图像