11 星系模型的验证
11.1 暗物质与暗物质之间存在引力的假设引发的末日悖论
假设宇宙单元中在时刻$t = 0$之前,没有暗物质.只有一个中心天体A,初始质量$M_{0}$.从$t = 0$开始,星际之间有流速为$v_{0}$的暗物质流体,密度是$\rho_\mathrm{d}$.假设暗物质流体的运动方向不变.暗物质流体与中心天体存在引力,假设暗物质与暗物质之间存在引力.中心天体质量较大,可以俘获外来的暗物质流体.假设暗物质流体微粒俘获后绕A作匀速圆周运动.俘获区的半径是$r_{0}$,任意一点与中心天体的距离是$r$,俘获区的面积是$S_{0}$.俘获区外部是逃逸区,整个星系的重力不足以让这些暗物质流体微粒绕中心天体A转动.俘获区对应暗物质流体的质量流量用$q_\mathrm{v}$表示.在任意时刻,俘获区暗物质的总质量是$M_\mathrm{g} [t]$,是一个与时间相关的量.任意时刻整个星系的总质量是$M$,$M$与$M_{0}$的比值是$K_\mathrm{M}$,$K_\mathrm{M}$可以看作任意时刻整个星系的相对总质量.
$$\begin{equation*}M / M_{0} = K_\mathrm{M} \tag{11.1 - 1}\end{equation*}$$
为了简化分析,这里假设俘获区是在一个平面上,这个平面垂直于暗物质流体速度方向并且通过中心天体中心,暗物质流体到这个截面之前速度没有变化,到达俘获区截面瞬间开始受到A的重力,轨道开始变化.初期不同半径暗物质流体速度相同,后期暗物质流体的一部分可以逃逸,一部分保留在俘获区.(目前这样的假设只是为了简化分析,在后面章节的分析会发现这种假设的等效作用存在合理性.)
图33 暗物质流体俘获区与逃逸区剖面图
Figure 33 Cross-sectional view of the dark matter fluid capture zone and the escape zone
在俘获区的边界,一个暗物质流体中的质量是$m_\mathrm{d}$粒子B恰好可以逃逸,这意味着粒子运动到无穷远处的速度恰好等于0.
$$\begin{equation*}v_{\infty} = 0 \tag{11.1 - 2}\end{equation*}$$
在这个过程中,星系整体引力对B做的功
$$\begin{equation*}W_\mathrm{max}=\lim _{r_\mathrm{max} \rightarrow \infty}\left(\int_{r_0}^{r_\mathrm{max}}-\frac{G M m_\mathrm{d}}{r^2} d[r]\right)=-\frac{G M m_\mathrm{d}}{r_0} \tag{11.1 - 3}\end{equation*}$$
B动能的变化
$$\begin{equation*}ΔE_\mathrm{v} = \frac{1}{2} m_\mathrm{d} v_{\infty}^{2} - \frac{1}{2} m_\mathrm{d} v_{0}^{2} = -\frac{ 1}{2} m_\mathrm{d} v_{0}^{2} \tag{11.1 - 4}\end{equation*}$$
根据能量守恒定律,做功与动能变化存在关系
$$\begin{equation*}W_{\mathrm{max}} = ΔE_\mathrm{v} \tag{11.1 - 5}\end{equation*}$$
根据11.1 - 3、11.1 - 4、11.1 - 5式可得俘获区半径
$$\begin{equation*}r_{0} = \frac{2 GM}{v_{0}^{2}} \tag{11.1 - 6}\end{equation*}$$
根据几何关系,俘获区面积与半径关系
$$\begin{equation*}S_{0} = \pi r_{0}^{2} \tag{11.1 - 7}\end{equation*}$$
根据整个星系的总质量的定义
$$\begin{equation*}M = M_{0} + M_\mathrm{g} [t] \tag{11.1 - 8}\end{equation*}$$
俘获区中,质量流量与暗物质的总质量存在以下关系
$$\begin{equation*}q_\mathrm{v} = \frac{\mathrm{d} \left[ M_\mathrm{g} \left[t \right] \right]}{\mathrm{d}[t]} \tag{11.1 - 9}\end{equation*}$$
根据质量流量定义,可得
$$\begin{equation*}q_\mathrm{v} = v_{0} S_{0} \rho_\mathrm{d} \tag{11.1 - 10}\end{equation*}$$
联合11.1 - 6、11.1 - 7、11.1 - 8、11.1 - 9、11.1 - 10式可得
$$\begin{equation*}M_\mathrm{g}^{'} [t] = \frac{4 G^{2} \pi \rho_\mathrm{d} ( M_{0} + M_\mathrm{g} [t] )^{2}}{v_{0}^{3}} \tag{11.1 - 11}\end{equation*}$$
令$$\begin{equation*}c_\mathrm{a} = \frac{4 G^{2} \pi \rho_\mathrm{d}}{v_{0}^{3}} \tag{11.1 - 12}\end{equation*}$$
代入11.1 - 11式可得
$$\begin{equation*}M_\mathrm{g}^{'} [t] = c_\mathrm{a} ( M_{0} + M_\mathrm{g} [t] )^{2} \tag{11.1 - 13}\end{equation*}$$
求解上面的常微分方程,并使用边界条件$\left\{ M_\mathrm{g} [t] → 0 , t → 0 \right\}$,可得
$$\begin{equation*}M_\mathrm{g} [t] = \frac{t c_\mathrm{a} M_{0}^{2}}{1 - t c_\mathrm{a} M_{0}} \tag{11.1 - 14}\end{equation*}$$
代入11.1 - 8式可得
$$\begin{equation*}M = M_{0} + \frac{t c_\mathrm{a} M_{0}^{2}}{1 - t c_\mathrm{a} M_{0}} \tag{11.1 - 15}\end{equation*}$$
根据暗物质与物质比例的定义
$$\begin{equation*}M_\mathrm{g} [t] = k_\mathrm{d} M_{0} \tag{11.1 - 16}\end{equation*}$$
根据星系的相对总质量定义
$$\begin{equation*}M = K_\mathrm{M} M_{0} \tag{11.1 - 17}\end{equation*}$$
不难得到下面的恒等式
$$\begin{equation*}k_\mathrm{d} + 1 = K_\mathrm{M} \tag{11.1 - 18}\end{equation*}$$
11.1 - 17式代入11.1 - 15式可得
$$\begin{equation*}K_\mathrm{M} = \frac{1}{1 - t c_\mathrm{a} M_{0}} \tag{11.1 - 19}\end{equation*}$$
这是一个分式线性函数,渐近线是方程
$$\begin{equation*}t = \frac{1}{c_\mathrm{a} M_{0}} \tag{11.1 - 20}\end{equation*}$$
这里约定时间单位是$\frac{1}{c_\mathrm{a} M_{0}}$,当t=1时,星系的总质量趋于无穷大.
绘制$K_\mathrm{M}$的函数图像
图34 $K_\mathrm{M}$的函数图像$(0 ≤ t ≤ \frac{2}{c_\mathrm{a} M_{0}})$
Figure 34 Graph of the function of $K_\mathrm{M}$ $(0 ≤ t ≤ \frac{2}{c_\mathrm{a} M_{0}})$
图35 $K_\mathrm{M}$的函数图像$(0 ≤ t ≤ \frac{1}{c_\mathrm{a} M_{0}})$
Figure 35 Graph of the function of $K_\mathrm{M}$ $(0 ≤ t ≤ \frac{1}{c_\mathrm{a} M_{0}})$
假如时间可以超过1,在这个宇宙模型中,当时间大于1后,星系的质量从正无穷大,变成负无穷大,下面随着时间推移负无穷大质量逐渐趋于0.假如时间不可以超过1,这个时候$K_\mathrm{M}$的函数图像如上图所示.
根据普朗克卫星的观测结果[10],重子密度=0.02242,冷暗物质密度=0.11933,$k_\mathrm{d}$=0.11933/0.02242=5.32248.假设这个宇宙模型就是现存世界的宇宙模型,那么星系相对质量$K_\mathrm{M}$=$k_\mathrm{d} + 1$=6.32248.上图粗线与点线的交点对应于现在我们宇宙所处的时刻位置.上面的函数图像并未绘制在t接近1时候的所有图像.如果绘制所有图像,函数图像接近一个水平线和一个无限长垂直上升的竖线.
在不考虑相邻星系对宇宙单元暗物质晕的引力情况下,星系总质量要么几乎没有变动约等于原有物质的质量,要么近似直线上升.在考虑相邻星系对宇宙单元暗物质晕的引力情况下,不妨把整个宇宙看作一个中心天体,运用前面的分析,根据图像得出,现存宇宙时间的尽头是1,这是宇宙的末日.
我们所在的宇宙对应在函数图像每一点,在时间尺度上存在概率的.巧合的是我们刚好发现我们的宇宙还存在,没有毁灭,如同空中的烟花,绚烂而短暂.考虑不同宇宙模型时间轴上的时间长度是可以无限的,那么我们所在的宇宙处于图中的交点概率虽然不为0,但无限接近于0.这是一个极小概率事件,可以认为不可能发生.假设这种宇宙模型存在与符合这种宇宙模型概率几乎为0存在矛盾,引发末日悖论.
11.2 银河系的暗物质比例
根据62给出的参考文献,可以得到:
- 银河系的质量$0.8 ∼ 4.5 \times 10 ^{12} M_{\bigodot}$[17] [18] [19] [20] [21] [22]
- 银河系的物质的质量$0.543 ∼ 0.95 \times 10 ^{11} M_{\bigodot}$[17] [19] [20]
具体相关的数据如下表所示,并求解同一数据来源对应的银河系的暗物质比例.
表11 银河系的质量与暗物质比例1
Table 11 Milky Way mass and dark matter ratio 1
| Sources of data | $M_\mathrm{m}\ \ (M_{\bigodot})$ | $M\ \ (M_{\bigodot})$ | $k_\mathrm{d}=(M-M_\mathrm{m})/M_\mathrm{m}$ |
| [17] | $0.643^{+0.063}_{−0.063} × 10^{11}$ | $1.26^{+0.24}_{−0.24}× 10^{12}$ | $18.596$ |
| [18] | $0.9^{+0.4}_{−0.3} × 10^{12}$ | ||
| [19] | $0.95^{+0.24}_{−0.30} × 10^{11}$ | $0.80^{+0.31}_{−0.16} × 10^{12}$ | $7.421$ |
| [20] | $0.543^{+0.057}_{−0.057} × 10^{11}$ | $1.32^{+0.29}_{−0.29} × 10^{12}$ | $23.309$ |
| [21] | $1.5 \sim 4.5 × 10^{12}$ | ||
| [22] | $0.8 × 10^{12}$ |
前面分析得到,星系暗物质晕中暗物质质量与物质质量的比例$k_\mathrm{d} ≤ 1 + \sqrt{2}$,考虑到宇宙是膨胀的,宇宙单元中星系的暗物质晕外还有多余的暗物质.暗物质晕中的暗物质必然到达最大值$1 + \sqrt{2}≈ 2.414$.
上表得出的银河系中暗物质总质量与物质总质量的比值$k_\mathrm{d} = 7.421∼23.309$,这与前面的结论$k_\mathrm{d} ≈ 2.414$存在矛盾,可能的原因是观测精度不够导致的误差.
2013年发射的盖亚(Gaia)卫星通过对银河系中恒星的三维位置和运动进行极其精确的测量.这种测量是一个循序渐进的过程,因为盖亚的计算精度会随着它观测恒星样本的时间而提高.仅2023年一年,就有四篇不同的论文揭示了距离银河系中心10万光年以外的恒星速度急剧下降.由于推断出银河系的质量较低,估计为2000亿个太阳,因此更加具体地引发了一些困扰.天文学家对银河系可见物质的测量结果非常有信心,其质量约为600亿个太阳.如果这两个数字都是正确的,这意味着暗物质与普通物质的比例仅为2.3:1,远远低于类似大小星系中的10:1.63
最近,法国天体物理学家弗朗索瓦·哈默(François Hammer)以合著者的身份发表了一篇论文《Detection of the Keplerian decline in the Milky Way rotation curve》[23].该论文通过盖亚(Gaia)卫星观测数据,得到银河系更为精确的物质质量和引力质量.如下表所示:
表12 银河系的质量与暗物质比例2
Table 12 Milky Way mass and dark matter ratio 2
| Baryon model | $M_\mathrm{bar}(10^{11} M_{\bigodot})$ | $M_\mathrm{dyn}(10^{11} M_{\bigodot})$ | $k_\mathrm{d}=M_\mathrm{dyn}/M_\mathrm{bar}-1$ |
| B2 | $0.616$ | $2.05^{+0.08}_{−0.06}$ | $2.328$ |
| E dJ | $0.607$ | $1.97^{+0.09}_{−0.06}$ | $2.245$ |
| E J | $0.603$ | $1.97^{+0.09}_{−0.06}$ | $2.267$ |
| E CM | $0.589$ | $1.97^{+0.09}_{−0.06}$ | $2.345$ |
| G dJ | $0.575$ | $1.98^{+0.09}_{−0.07}$ | $2.443$ |
| G J | $0.571$ | $1.98^{+0.09}_{−0.06}$ | $2.468$ |
| G CM | $0.557$ | $1.99^{+0.1}_{−0.07}$ | $2.573$ |
| Average | $0.588$ | $1.987$ | $2.378$ |
上表中,综合不同的模型的平均数据,银河系中暗物质总质量与物质总质量的比值$k_\mathrm{d} = 2.378$,这与理论预测的比值$k_\mathrm{d} ≈ 2.414$非常接近.
11.3 宇宙单元模型的星系旋转曲线
第10章提到一个宇宙单元模型—— (4) 宇宙单元暗物质比例较大,暗物质晕没有角动量.
下面分析在这个模型中星系的恒星旋转曲线.假设恒星都是作匀速圆周远动,选取一个恒星B,B旋转速度是$v$,质量是$m$,B与中心天体距离$r$.不考虑暗物质流体的阻力,暗物质晕视作密度不变的球体.
运动学分析可得
$$\begin{equation*}\frac{G M_\mathrm{m} m}{r^{2}} + \frac{G M_\mathrm{d} mr}{R_\mathrm{d}^{3}} = m \frac{v^{2}}{r} \tag{11.3 - 1}\end{equation*}$$
上式是一个关于$v$的一元二次方程,有两个解,约定旋转速度$v > 0$,去除一个无效的解,可得
$$\begin{equation*}v = \sqrt{\frac{G M_\mathrm{m}}{r} + \frac{G M_\mathrm{d} r^{2}}{R_\mathrm{d}^{3}} } \tag{11.3 - 2}\end{equation*}$$
绘制恒星旋转速度曲线
图36 宇宙单元模型的星系旋转曲线
Figure 36 The galaxy rotation curve of the cosmic unit model
观察图像可得,当$r$足够大以后,恒星旋转速度几乎不变.这个特征和典型的螺旋星系旋转曲线是一致的.二者的在图像前部分的差异在于宇宙单元模型的质量分布与螺旋星系不同.根据64的描述,人马座A*(Sagittarius A*,Sgr A*)是银河系银心的一个特大质量黑洞,质量大小估计为$\left( 4.31 \pm 0.38 \right) \times 10^{6} M_{\bigodot}$[24]或$\left( 4.1 \pm 0.6 \right) \times 10^{6} M_{\bigodot}$[25].根据前面合并的数据,银河系总质量$M = 0.8 ∼ 4.5 \times 10^{12} M_{\bigodot}$,银河系大部分质量并不是集中在星系的中心天体中.
图37 典型的螺旋星系旋转曲线 来源:65
Figure 37 Typical spiral galaxy rotation curve Source: 65
11.4 简化螺旋星系模型的旋转曲线
上一节中,典型的螺旋星系旋转曲线中的虚线是根据天文观测到的物质在径向的分布密度,预测得到旋转速度曲线.星系自转问题是被观察到的转动速度,和可观测到的螺旋星系质量,以牛顿动力学预测的星系盘部分的速度之间所造成的矛盾.尽管暗物质是迄今为止对旋转问题最被接受的解释,但其他提议也取得了不同程度的成功.在可能的替代方案中,最值得注意的是修正牛顿动力学(Modified Newtonian dynamics,MOND),它涉及修改万有引力定律.66
假设暗物质晕密度几乎不变,而且是近似球体的.这样暗物质晕的引力可以应用壳层定理简化计算.
螺旋星系质量集中在星系的旋转平面"星系黄道".这里只分析轨道在旋转平面的恒星旋转速度,并且假设所有恒星、星际物质都在旋转平面上.在这样的假设条件下,星系中的物质提供的引力也可以应用壳层定理简化计算.
下面对物质径向密度曲线形状作启发式推导.
假设一个星系诞生之初,只有一个中心天体A,质量是$M$.有物质微粒进入星系,最后演化成恒星、行星、星际物质等可观测对象.初期没有暗物质,为了简化分析,演化过程也假设没有暗物质.随着时间的推移,星系的合并,环绕中心天体的物质质量远超中心天体质量,相差数个数量级.暗物质在恒星等天体演化完成后再加入.假设暗物质的加入只是让原有的恒星等物质天体所处的位置在径向均匀缩放.假设最后星系的暗物质总质量与物质总质量的比值$k_\mathrm{d} = 1 + \sqrt{2}$.在任意时刻,任意星系俘获的物质微粒用B表示.推导物质径向密度曲线过程中,星系俘获物质微粒只考虑中心天体A或等效中心天体提供的引力.俘获半径用$r_{0}$表示.
图38 物质微粒被中心天体俘获时的几何关系
Figure 38 Geometric relationship of particles of matter when they are captured by the central celestial body
假设被俘获的物质微粒速度大小、运动方向都相同,类似于流体,上图是垂直于速度矢量的剖面.在B受到A引力影响之前,A与B的距离是$r_\mathrm{s}$;俘获区的面积为$S$,物质流体的密度是$\rho_\mathrm{m}$,速度大小是$v_\mathrm{s}$,俘获区质量流量是$q_\mathrm{v}$.B的质量用$m_\mathrm{b}$表示.B受到A引力影响之后的稳定半径是$r_\mathrm{e}$,稳定速度是$v_\mathrm{e}$.时间用$t$表示.俘获区已经俘获的物质微粒总质量是$m_\mathrm{B}[t,r_\mathrm{e}]$.
俘获区截面从无穷远处到与星系中心重叠,这个过程中,B点因为受到引力,速度和轨道发生变化.同一方向相同速度的物质微粒流体,从无穷远处到接近中心天体轨道稳定.因为初始速度相同,A重力作功相同,所有的B点稳定半径和稳定速度是一样的.
这里假设,流体运动到通过中心的俘获区截面时,速度方向不改变,速度大小是一样的.假设物质流体远动到通过中心的俘获区截面之前A的重力没有作用,到达这个截面的瞬间A的重力开始发挥作用.而且B速度方向发生90°的变化,由原来的垂直于俘获区截面变成与俘获区截面平行并通过,速度的矢量方向与A B两点的连线垂直.垂直于俘获截面两股方向相反的质量流量是$\frac{1}{2} q_\mathrm{v}$的物质微粒流体中的两个微粒弹性碰撞可以到达这种效果.如此大费周章,而且其中还有能量不守恒,是为了在这种简化假设下获取B稳定后的径向密度分布公式.
上面的假设流体达到俘获区截面的瞬间A的重力开始发挥作用,前面的暗物质流体情况也一样,其中能量不守恒,指的是流体来自无穷远处的前提下.如果把这个从无穷远处出发的流体,换成暗物质与物质在以太凭空诞生.星系穿越空间有一个速度.物质与暗物质诞生后的微粒相对于星系就变成凭空出现并具有初速度的流体.在这种情况下,能量守恒.如果真实的情况就是这样,那么前面的假设以及简化过程就具有合理性.
上图中圆环带,任意B点在时间上、空间上叠加的总质量与B的质量流量和时间的微分关系$$\begin{equation*}\mathrm{d}\left[m_\mathrm{B}[t,r_\mathrm{e}]\right] = \mathrm{d}[q_\mathrm{v}] \mathrm{d}[t] \tag{11.4 - 1}\end{equation*}$$
根据质量流量的定义
$$\begin{equation*}\mathrm{d}[q_\mathrm{v}] = v_\mathrm{s} \mathrm{d}[S] \rho_\mathrm{m} \tag{11.4 - 2}\end{equation*}$$
由圆环带的几何关系
$$\begin{equation*}\mathrm{d}[S] = 2 \pi r_\mathrm{s} \mathrm{d}[r_\mathrm{s}] \tag{11.4 - 3}\end{equation*}$$
不考虑物质微粒之间的引力,不考虑暗物质微粒提供的引力,B从到达俘获区截面开始到迁移到稳定轨道这个过程中,A对B所做的功
$$\begin{equation*}W_\mathrm{e} = \int_{r_\mathrm{s}}^{r_\mathrm{e}} - \frac{ GM m_\mathrm{b}}{r^{2}} \mathrm{d}[r] = - GM m_\mathrm{b} (- \frac{1}{r_\mathrm{e}} + \frac{1}{r_\mathrm{s}} ) \tag{11.4 - 4}\end{equation*}$$
在这其中B的动能变化
$$\begin{equation*}ΔE_\mathrm{v} = \frac{1}{2} m_\mathrm{b} v_\mathrm{e}^{2} - \frac{1}{2} m_\mathrm{b} v_\mathrm{s}^{2} \tag{11.4 - 5}\end{equation*}$$
孤立的系统由能量守恒得
$$\begin{equation*}W_\mathrm{e} = ΔE_\mathrm{v} \tag{11.4 - 6}\end{equation*}$$
B运行在稳定轨道,假设B是做匀速圆周运动,重力全部提供向心力
$$\begin{equation*}\frac{GM m_\mathrm{b}}{r_\mathrm{e}^{2}} = \frac{m_\mathrm{b} v_\mathrm{e}^{2}}{r_\mathrm{e}} \tag{11.4 - 7}\end{equation*}$$
11.4 - 4、11.4 - 5、11.4 - 6、11.4 - 7式得
$$\begin{equation*}r_\mathrm{s} = \frac{2 GM r_\mathrm{e}}{GM + r_\mathrm{e} v_\mathrm{s}^{2}} \tag{11.4 - 8}\end{equation*}$$
在微积分中有一个链式法则
$$\begin{equation*}\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dx} \tag{11.4 - 9}\end{equation*}$$
根据链式法则可得
$$\begin{equation*}\frac{\mathrm{d}[r_\mathrm{s}]}{\mathrm{d}[r_\mathrm{s}]} = \frac{\mathrm{d}[r_\mathrm{s}]}{\mathrm{d}[r_\mathrm{e}]} \frac{\mathrm{d}[r_\mathrm{e}]}{\mathrm{d}[r_\mathrm{s}]} \tag{11.4 - 10}\end{equation*}$$
11.4 - 8式代入上式
$$\begin{equation*}\frac{\mathrm{d}[r_\mathrm{s}]}{\mathrm{d}[r_\mathrm{s}]} = \frac{\mathrm{d}\left[ \frac{\displaystyle 2 GM r_\mathrm{e}}{\displaystyle GM + r_\mathrm{e} v_\mathrm{s}^{2}} \right]}{\mathrm{d}[r_\mathrm{e}]} \frac{\mathrm{d}[r_\mathrm{e}]}{\mathrm{d}[r_\mathrm{s}]} \tag{11.4 - 11}\end{equation*}$$
进一步微分运算
$$\begin{equation*}1 = ( - \frac{ 2 GM r_\mathrm{e} v_\mathrm{s}^{2}}{( GM + r_\mathrm{e} v_\mathrm{s}^{2} )^{2}} + \frac{2 GM}{GM + r_\mathrm{e} v_\mathrm{s}^{2}} ) \frac{\mathrm{d}[r_\mathrm{e}]}{\mathrm{d}[r_\mathrm{s}]} \tag{11.4 - 12}\end{equation*}$$
解得初始半径与稳定半径的微分关系
$$\begin{equation*}\mathrm{d}[r_\mathrm{s}] = \frac{2 G^{2} M^{2}}{( GM + r_\mathrm{e} v_\mathrm{s}^{2} )^{2}} \mathrm{d}[r_\mathrm{e}] \tag{11.4 - 13}\end{equation*}$$
联合11.4 - 1、11.4 - 2、11.4 - 3、11.4 - 8、11.4 - 13式可得
$$\begin{equation*}\frac{\mathrm{d}\left[m_\mathrm{B}[t,r_\mathrm{e}]\right]}{\mathrm{d}[t] \mathrm{d}[r_\mathrm{e}]} = \frac{8 G^{3} M^{3} \pi r_\mathrm{e} v_\mathrm{s} \rho_\mathrm{m}}{( GM + r_\mathrm{e} v_\mathrm{s}^{2} )^{3}} \tag{11.4 - 14}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}\frac{\mathrm{d}\left[m_\mathrm{B}[t,r_\mathrm{e}]\right]}{\mathrm{d}[t]} = \frac{8 G^{3} M^{3} \pi r_\mathrm{e} v_\mathrm{s} \rho_\mathrm{m}}{( GM + r_\mathrm{e} v_\mathrm{s}^{2} )^{3}} \mathrm{d}[r_\mathrm{e}] \tag{11.4 - 15}\end{equation*}$$
对11.4 - 15式进行积分并使用边界条件$\left\{ r_\mathrm{e} → 0 , \frac{\mathrm{d} \left[m_\mathrm{B}[t,r_\mathrm{e}]\right]}{\mathrm{d} [t]} → 0 \right\}$,可得
$$\begin{equation*}\frac{\mathrm{d}\left[m_\mathrm{B}[t,r_\mathrm{e}]\right]}{\mathrm{d}[t]} = \frac{4 G^{2} M^{2} \pi r_\mathrm{e}^{2} v_\mathrm{s} \rho_\mathrm{m}}{( GM + r_\mathrm{e} v_\mathrm{s}^{2} )^{2}} \tag{11.4 - 16}\end{equation*}$$
11.1 - 6式与当前分析的内容存在相似之处,变化可得俘获区半径
$$\begin{equation*}r_{0} = \frac{2 GM}{v_\mathrm{s}^{2}} \tag{11.4 - 17}\end{equation*}$$
目前已经得到$\left\{ \frac{\mathrm{d} \left[m_\mathrm{B}[t,r_\mathrm{e}]\right]}{\mathrm{d} [t] \mathrm{d} [r_\mathrm{e}]} , \frac{\mathrm{d} \left[m_\mathrm{B}[t,r_\mathrm{e}]\right]}{\mathrm{d} [t]} , r_{0} \right\}$,分别是俘获区总质量对径向和时间的多重微分、俘获区总质量对时间的微分、俘获区半径.假设随着时间的积累、星系的合并,$m_\mathrm{B}[t,r_\mathrm{e}]$逐渐累积成$M_\mathrm{m}$.为了简化分析,假设一个简化螺旋星系是由多个相同小星系合并而成的,每个小星系中心天体质量、俘获物质微粒时间、俘获区微粒质量流量、径向尺寸$r_{0}$等条件都相同,并且俘获物质微粒过程中,每个小星系中心天体质量视作不变.这里的中心天体质量简化处理,视作小星系在俘获物质微粒过程中的整个星系平均总质量.
在这样的简化分析条件下,只需要统计所有小星系的俘获时间长度的总和$T$,就可以求出简化螺旋星系的已经俘获的物质微粒总质量$M_\mathrm{m}$.$M_\mathrm{m}$对于半径$r_\mathrm{e}$的微分是$M_\mathrm{mdr}$.用$r$替换$r_\mathrm{e}$,物质微粒稳定后的半径就是现在物质微粒所在位置对应的半径.
$$\begin{equation*} r_\mathrm{e} = r \tag{11.4 - 18}\end{equation*}$$
对11.4 - 14、11.4 - 16式,使用边界条件$\begin{flalign}\left\{t\to 0,m_{\mathrm{B}}\left[t,r_{\mathrm{e}}\right]\to 0,\frac{d\left[m_{\mathrm{B}}\left[t,r_{\mathrm{e}}\right]\right]}{d[t]}\to 0\right\}\end{flalign}$,作积分变换可得
$$\begin{equation*}M_{\mathrm{m}}=m_\mathrm{B}[T,r_{\mathrm{e}}]=\frac{4 G^2 M^2 \pi r_{\mathrm{e}}^2 \rho_{\mathrm{m}} v_{\mathrm{s}} T}{(G M+r_{\mathrm{e}} v_{\mathrm{s}}^2)^2} \tag{11.4 - 19}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}M_{\mathrm{mdr}}=\frac{\mathrm{d}[m_\mathrm{B}[T,r_{\mathrm{e}}]]}{\mathrm{d}[r_{\mathrm{e}}]}=\frac{8 G^3 M^3 \pi v_{\mathrm{s}} \rho_{\mathrm{m}} r_{\mathrm{e}} T}{(G M+r_{\mathrm{e}} v_{\mathrm{s}}^2)^3} \tag{11.4 - 20}\end{equation*}$$
应用11.4 - 18式变换可得
$$\begin{equation*}M_{\mathrm{m}}= \frac{4 G^2 M^2 \pi r^2 \rho_{\mathrm{m}} v_{\mathrm{s}} T}{(G M+r v_{\mathrm{s}}^2)^2} \tag{11.4 - 21}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}M_{\mathrm{mdr}}= \frac{8 G^3 M^3 \pi v_{\mathrm{s}} \rho_{\mathrm{m}} r T}{(G M+r v_{\mathrm{s}}^2)^3} \tag{11.4 - 22}\end{equation*}$$
上式中,$M_\mathrm{mdr}$星系的物质质量在径向圆环带的分布密度,$M_\mathrm{m}$星系的物质质量从半径为0到指定半径之和.
万有引力常数和太阳质量的数值大小:
$G = \left( 6.67430 \pm 0.00015 \right) \times 10^{- 11} m^{3} k g^{- 1} s^{- 2}$ $M_{\bigodot} = \left( 1.98855 \pm 0.00025 \right) \times 10^{30} kg$
因为计算机离散数学系统的限制,Mathematica计算数值的大小存在极限.将十个、几十个数量级代入公式,在遇到复杂的函数时,Mathematica提示数值太小无法保证精度或者太大无法计算.因此,为了简化运算过程,保证模拟精度.这里对于物理量数值仅仅是为了模拟而选取的,为了方便计算而挑选的数量级合适的数值.约定下面的表格中第一行是Mathematica的输入命令,第二行是运行结果.
计算"逃逸半径"径向尺寸$r_{0}$的大小
| $r_{0} / . \left\{ G \rightarrow 1 , M \rightarrow 1 , \rho_\mathrm{m} \rightarrow 1 , v_\mathrm{s} \rightarrow 0.01 \right\}$ |
| $20000.$ |
选取适当的常数值,计算$M_\mathrm{mdr}$、$M_\mathrm{m}$数值解析式
| $\begin{equation}\begin{aligned}\left\{ \frac{8 \pi G^3 M^3 r T \rho_{\mathrm{m}} v_{\mathrm{s}}}{\left(G M+r v_{\mathrm{s}}^2\right){}^3} , \frac{4 \pi G^2 M^2 r^2 T \rho _{\mathrm{m}} v_{\mathrm{s}}}{\left(G M+r v_{\mathrm{s}}^2\right){}^2} \right\} / . \{ G \rightarrow 1 , M \rightarrow 1 , \\ \rho_\mathrm{m}\rightarrow 0.1 , v_\mathrm{s} \rightarrow 0.01 , T \rightarrow 1 \}\end{aligned}\end{equation}$ |
| $\left\{ \frac{\displaystyle 0.0251327 r}{\displaystyle( 0.0001 r + 1 )^{3}} , \frac{\displaystyle 0.0125664 r^{2}}{\displaystyle( 0.0001 r + 1 )^{2}} \right\}$ |
绘制$M_\mathrm{mdr}$、$M_\mathrm{m}$的函数图像
图39 $M_\mathrm{mdr}$的函数图像
Figure 39 Graph of the function of $M_\mathrm{mdr}$
图40 $M_\mathrm{m}$的函数图像
Figure 40 Graph of the function of $M_\mathrm{m}$
观察图像得出$M_\mathrm{m}$在半径为无穷大时存在一个极限,求这个极限值
$$\begin{equation*}\lim_{r\to \infty } \frac{4 G^2 M^2 \pi r^2 \rho _{\mathrm{m}} v_{\mathrm{s}} T}{\left(G M+r v_{\mathrm{s}}^2\right)^2} = \frac{4 \pi G^2 M^2 T \rho _{\mathrm{m}}}{v_{\mathrm{s}}^3} \tag{11.4 - 23}\end{equation*}$$
估算$M_\mathrm{m}$在不同的半径处的大小与极限值的比例
|
$\mathrm{Table}\left[ \left\{ n , N \left[\displaystyle\frac{\left(\displaystyle \frac{4 G^2 M^2 \pi r^2 \rho _{\mathrm{m}} v_{\mathrm{s}} T}{\left(G M+r v_{\mathrm{s}}^2\right)^2} / . r \rightarrow n \displaystyle\frac{2 GM}{v_\mathrm{s}^{2}} \right)}{\displaystyle\frac{4 \pi G^2 M^2 T \rho _{\mathrm{m}}}{v_{\mathrm{s}}^3}} , 4\right] \right\} , \left\{ n , 1,50 \right\} \right]$ |
|
{{1,0.4444},{2,0.6400},{3,0.7347},{4,0.7901},{5,0.8264},{6,0.8521},{7,0.8711}, |
上面的函数图像代表星系的物质质量可以分布到无穷远处.无穷远处意味着整个宇宙.而前面提到,宇宙是有一个个宇宙单元组成,尺寸是有限的,星系存在边缘.因此在上面的函数图像中选取$0 - 5 r_{0}$部分作为模拟星系的全部物质质量,后面的部分视作质量为0.在这种情况下,计算物质的总质量和对应$\left( 1 + \sqrt{2} \right)$倍的暗物质总质量.
| $M_\mathrm{m} / . r \rightarrow n r_{0} / . \{ G \rightarrow 1 , M \rightarrow 1 , \rho_\mathrm{m} \rightarrow 0.1 , v_\mathrm{s} \rightarrow 0.01 ,T \rightarrow 1 , n \rightarrow 5 \}$ |
| $1.03854 \times 10^{6}$ |
| $\% * ( 1 + \sqrt{2} )$ |
| $2.50726 \times 10^{6}$ |
银河系总质量与它的中心天体质量的比值约为$0.36 \times 10^{6}$,这里模拟星系总质量与中心天体质量的比值约为$3.5 \times 10^{6}$,与银河系的比值数量级比较接近.
前面计算$M_\mathrm{mdr}$和$M_\mathrm{m}$,并未考虑暗物质的分布和引力作用.现在考虑在星系中加入暗物质,由物质的引力分布推导出暗物质流体的密度分布.仅考虑星系中暗物质与物质之间的远程引力,暗物质与暗物质之间的远程斥力忽略不计.这种假设是为了避免蛋生鸡、鸡生蛋的循环定义,循环关系.在这种假设下获得稳定的分布,再考虑暗物质与暗物质之间的远程斥力,令远程斥力瞬间开始作用,进一步分析就变得容易一些.
在螺旋星系中,中心天体的质量与星系总质量相比数值太小,这里视作0.目前分析的星系总质量是物质的总质量.将圆盘形状的螺旋星系视作球状星团.迄今为止,在银河系发现约300个球状星团67.银河系的许多球状星团都有一个逆行轨道[26],包括质量最大的半人马座欧米茄(ω Cen,NGC 5139,Caldwell 80).它的逆行轨道表明它可能是银河系捕获的矮星系的残余物[27] [28].使用球状星团模型有一个好处,物质与暗物质可以应用壳层定理简化分析.
在前面的星系模型中,暗物质晕中任意一个暗物质微粒用C表示,所有物质的集合用Am表示.C的质量是$m_\mathrm{d}$,暗物质流体处于的深度为$h$,Am中心与C的距离是$r$,C点暗物质流体压强是$p$,C点暗物质流体密度用$\rho_\mathrm{d}$表示.用$M_\mathrm{d}$代表暗物质晕从半径等于0到指定半径范围内的质量.C点暗物质重力加速度是$g$.Am与C之间引力为$F_\mathrm{d}$.
任意一个暗物质微粒C受到的重力
$$\begin{equation*}F_\mathrm{d} = \frac{G M_\mathrm{m} m_\mathrm{d}}{r^{2}} \tag{11.4 - 24}\end{equation*}$$
根据牛顿第二运动定律
$$\begin{equation*}F_\mathrm{d} = m_\mathrm{d} g \tag{11.4 - 25}\end{equation*}$$
重力场中的静止暗物质流体有关系式
$$\begin{equation*}\mathrm{d}[p] = - g \rho_\mathrm{d} \mathrm{d}[h] \tag{11.4 - 26}\end{equation*}$$
忽略中心天体的半径,得
$$\begin{equation*}r = h \tag{11.4 - 27}\end{equation*}$$
假设暗物质流体是等温的,由10 - 9式变换可得
$$\begin{equation*}\rho_\mathrm{d} = C_\mathrm{\rho d} p \tag{11.4 - 28}\end{equation*}$$
联合11.4 - 21、11.4 - 24、11.4 - 25、11.4 - 26、11.4 - 27、11.4 - 28式,可得
$$\begin{equation*}\frac{1}{p} \mathrm{d}[p] = - \frac{ 4 G^{3} M^{2} \pi C_\mathrm{\rho d} T v_\mathrm{s} \rho_\mathrm{m}}{( GM + r v_\mathrm{s}^{2} )^{2}} \mathrm{d}[r] \tag{11.4 - 29}\end{equation*}$$
对上式积分,并使用边界条件$\left\{ r → 0 , p → p_{0} \right\}$,可得
$$\begin{equation*}p = e^{\displaystyle - \frac{ 4 G^{2} Mπr C_\mathrm{\rho d} T v_\mathrm{s} \rho_\mathrm{m}}{ GM + r v_\mathrm{s}^{2}}} p_{0} \tag{11.4 - 30}\end{equation*}$$
上式代入11.4 - 28式
$$\begin{equation*}\rho_\mathrm{d} = e^{\displaystyle - \frac{ 4 G^{2} Mπr C_\mathrm{\rho d} T v_\mathrm{s} \rho_\mathrm{m}}{GM + r v_\mathrm{s}^{2}}} C_\mathrm{\rho d} p_{0} \tag{11.4 - 31}\end{equation*}$$
与C点同半径的球形薄壳形状的暗物质的质量表示为$M_\mathrm{d}$的微分
$$\begin{equation*}\mathrm{d}[M_\mathrm{d}] = \rho_\mathrm{d} ( 4 \pi r^{2} ) \mathrm{d}[r] \tag{11.4 - 32}\end{equation*}$$
11.4 - 31式代入上式
$$\begin{equation*}\mathrm{d}[M_\mathrm{d}] = 4 e^{\displaystyle - \frac{ 4 G^{2} Mπr C_\mathrm{\rho d} T v_\mathrm{s} \rho_\mathrm{m}}{GM + r v_\mathrm{s}^{2}}} \pi r^{2} C_\mathrm{\rho d} p_{0} \mathrm{d}[r] \tag{11.4 - 33}\end{equation*}$$
对上式积分,并使用边界条件$\left\{ M_\mathrm{d} → 0 , r → 0 \right\}$,可得
$$\begin{equation}\begin{aligned}M_\mathrm{d} = & \frac{1}{3 v_{\mathrm{s}}^9}4 \pi C_{\mathrm{\rho d}} p_0 \biggl(e^{\displaystyle -\frac{4 \pi G^2 M r T C_{\mathrm{\rho d}} \rho_{\mathrm{m}} v_{\mathrm{s}}}{G M+r v_{\mathrm{s}}^2}} v_{\mathrm{s}} \biggl(G^3 M^3 v_{\mathrm{s}}^2+r^3 v_{\mathrm{s}}^8 \\ & -2 \pi G^3 M^2 T C_{\mathrm{\rho d}} \rho_{\mathrm{m}} v_{\mathrm{s}} \biggl(5 G M-r v_{\mathrm{s}}^2 \biggr) \biggl(G M+r v_{\mathrm{s}}^2 \biggr) \\ & +8 \pi ^2 G^6 M^4 T^2 C_{\mathrm{\rho d}}^2 \rho_{\mathrm{m}}^2 \biggl(G M+r v_{\mathrm{s}}^2 \biggr)\biggr) \\ & +G^3 M^3 \biggl(4 e^{\displaystyle -\frac{4 \pi G^2 M T C_{\mathrm{\rho d}} \rho_{\mathrm{m}}}{v_{\mathrm{s}}}} G^2 M \pi T \biggl(\mathrm{Ei} \biggl[\frac{4 \pi G^2 M T C_{\mathrm{\rho d}} \rho_{\mathrm{m}}}{v_{\mathrm{s}}} \biggr] \\ & -\mathrm{Ei} \biggl[\frac{4 G^3 M^2 \pi T C_{\mathrm{\rho d}} \rho_{\mathrm{m}}}{r v_{\mathrm{s}}^3+G M v_{\mathrm{s}}} \biggr] \biggr) C_{\mathrm{\rho d}} \rho_{\mathrm{m}} \biggl(3 v_{\mathrm{s}}^2-12 \pi G^2 M T C_{\mathrm{\rho d}} \rho_{\mathrm{m}} v_{\mathrm{s}} \\ & +8 \pi ^2 G^4 M^2 T^2 C_{\mathrm{\rho d}}^2 \rho_{\mathrm{m}}^2 \biggr)-v_{\mathrm{s}} \biggl(8 \pi ^2 G^4 M^2 T^2 C_{\mathrm{\rho d}}^2 \rho_{\mathrm{m}}^2-10 \pi G^2 M T C_{\mathrm{\rho d}} \rho_{\mathrm{m}} v_{\mathrm{s}}+v_{\mathrm{s}}^2 \biggr) \biggr) \\\end{aligned}\tag{11.4 - 34}\end{equation}$$
上式在$G$、$T$数值较大或者较小时,Mathematica计算将无法保证精度.这时可行的方法是对前面的微分方程使用数值积分计算$M_\mathrm{d}$.
选取适当的常数值,计算$\rho_\mathrm{d}$的数值解析式
| $\begin{equation}\begin{aligned}\rho_\mathrm{d} / . \{ & G \rightarrow 1 , M \rightarrow 1 , \rho_\mathrm{m} \rightarrow 0.1 , v_\mathrm{s} \rightarrow 0.01 , T \rightarrow 1 , C_\mathrm{\rho d} \rightarrow 10^{- 2} ,\\& p_{0} \rightarrow 1.789167211179288 * 10^{- 7} \}\end{aligned}\end{equation}$ |
| $1.78917 \times 10^{- 9} e^{\displaystyle - \frac{ 0.000125664 r}{0.0001 r + 1}}$ |
绘制$\rho_\mathrm{d}$的函数图像
图41 $\rho_\mathrm{d}$的函数图像
Figure 41 Graph of the function of $\rho_\mathrm{d}$
选取适当的常数值,计算$M_\mathrm{d}$的数值解析式
| $\begin{equation}\begin{aligned}M_\mathrm{d} / . \{ & G \rightarrow 1 , M \rightarrow 1 , \rho_\mathrm{m} \rightarrow 0.1 , v_\mathrm{s} \rightarrow 0.01 , T \rightarrow 1 ,\\ & C_\mathrm{\rho d} \rightarrow 10^{- 2} , p_{0} \rightarrow 1.789167211179288 * 10^{- 7} \} // \mathrm{Simplify}\end{aligned}\end{equation}$ |
| $\begin{equation}\begin{aligned}& 10269.6 + e^{\displaystyle - \frac{ 0.000125664 r}{0.0001 r + 1}} ( - 10132.7 - 1.29182 r + 0.000047089 r^{2}\\ & + 7.49445 * 10^{- 9} r^{3} ) - 52.689 Ei \left[\frac{12566.4}{1. r + 10000.}\right]\end{aligned}\end{equation}$ |
| $\text{%} / . r \rightarrow 100000$ |
| $2.50726 \times 10^{6}$ |
在$r = 5 r_{0}$处,$M_\mathrm{d} = \left( 1 + \sqrt{2} \right) M_\mathrm{m}$.满足前面星系物质与暗物质晕饱和比例的结论.这里的$\rho_\mathrm{d}$、$p_{0}$的数值是经过迭代运算得出的,调整系数大小是为了满足这个比例关系.
绘制$M_\mathrm{d}$、$M_\mathrm{m}$的函数图像:
图42 $M_\mathrm{d}$、$M_\mathrm{m}$的函数图像
Figure 42 Graph of the function of $M_\mathrm{d}$,$M_\mathrm{m}$
考虑星系中不同类型的质量产生的重力单独作用下,恒星的稳定旋转速度.不同的质量用$M_\mathrm{i}$表示,恒星的质量是$m_\mathrm{B}$,恒星的速度是$v$,恒星与星系中心的距离是$r$.重力提供匀速圆周的向心力
$$\begin{equation*}\frac{G M_\mathrm{i} m_\mathrm{B}}{r^{2}} = \frac{m_\mathrm{B} v^{2}}{r} \tag{11.4 - 35}\end{equation*}$$
方程有两个解,约定$v > 0$,去除一个无效的解,可得
$$\begin{equation*}v = \sqrt{\frac{G M_\mathrm{i}}{r}} \tag{11.4 - 36}\end{equation*}$$
使用之前的常数值,把$M_\mathrm{m}$、$M_\mathrm{d}$、$M_\mathrm{m} + M_\mathrm{d}$分别代入上式,绘制物质产生的重力单独作用的情况下、暗物质产生的重力单独作用的情况下、物质和暗物质产生的重力全部作用的情况下恒星的稳定旋转速度.
图43 简化螺旋星系模型中,分别只考虑$M_\mathrm{m}$、$M_\mathrm{d}$、$M_\mathrm{m} + M_\mathrm{d}$的重力作用的情况下恒星的稳定旋转速度
Figure 43 In the simplified spiral galaxy model, the stable rotation speed of the star under the condition of only considering the gravitational effect of $M_\mathrm{m}$,$M_\mathrm{d}$,$M_\mathrm{m} + M_\mathrm{d}$
中国科学院大学黄样博士等人所在的研究团队在2023年3月发表一篇论文[29],论文中绘制了距离银河系中心1.6万光年至8.1万光年范围内的银河系旋转曲线,成为目前该范围内最精确的银河系旋转曲线.相关的银河系的星系旋转曲线如下图所示
图44 银河系的星系旋转曲线 来源:[29]
Figure 44 Galaxy rotation curve of the Milky Way Source: [29]
美国天文学家薇拉·鲁宾(Vera Rubin)是星系旋转速度研究的先驱.她通过研究星系旋转曲线,揭示了预测和观测到的星系旋转运动之间的差异.她的工作确定星系旋转问题,她的工作为暗物质的存在提供了第一个证据.这些结果在随后的几十年中得到了证实.在她的一篇文章[30]中给出仙女座星系M31的星系旋转曲线:
图45 仙女座星系的星系旋转曲线 来源:[30]
Figure 45 Galaxy rotation curve of the Andromeda Galaxy Source: [30]
下图是螺旋星系NGC 3198的旋转曲线.图中带有误差线的拟合曲线显示了其外部恒星的实际速度.标有"disk"的线条显示的是预期的旋转曲线,如果星系中唯一的质量是可见恒星的质量.标有"halo"线是观察到的旋转曲线所需的额外暗物质.68"halo"线基于公式$\rho_\mathrm{halo} \left( R \right) ∝ \left(\left( \frac{a}{R_{0}} \right)^{\gamma} + \left( \frac{R}{R_{0}} \right)^{\gamma}\right)^{- 1}$.[31]
图46 螺旋星系NGC 3198的旋转曲线 来源:[31]
Figure 46 Rotation curve of the spiral galaxy NGC 3198 Source: [31]
比较模拟简化螺旋星系模型的旋转曲线、银河系的星系旋转曲线、仙女座星系M31的星系旋转曲线、螺旋星系NGC 3198的旋转曲线,可以看到简化星系模型自转与实际星系的旋转曲线存在相似之处.不足之处是函数图像后部分高于实际曲线,实际曲线是平坦的.归纳银河系和仙女座星系的星系旋转曲线共同特征,从原点开始出现一个波峰,后面是一个波谷,再后面的曲线趋于平缓并且呈现为一波三折的形状.
前面的简化螺旋星系模型中,暗物质晕的分析未考虑暗物质与暗物质之间的远程斥力.现在令远程斥力瞬间开始作用,并考虑简化螺旋星系模型中的理想条件去除后的效果.
- 考虑暗物质与暗物质之间的远程斥力,$M_\mathrm{d}$的曲线在$r$方向上的长度变长,暗物质晕更多地分布在半径较大的区域,简化螺旋星系旋转曲线后部分变高,中间的凹处变低.
- 考虑暗物质晕的环绕流动,$M_\mathrm{d}$的曲线变得平缓,暗物质晕在半径较大的区域比例变小,简化螺旋星系旋转曲线后部分变得平缓.
- 考虑选取来源曲线$M_\mathrm{mdr}$在$r$方向上的范围变宽,暗物质的总质量不变.$M_\mathrm{m}$的曲线变得平缓,相对于星系整体尺寸而言,物质质量更多地集中在半径较小的区域,简化螺旋星系旋转曲线前部分变高,中间的凹处变低.
- 考虑螺旋星系的物质部分由球状星团模型变成圆盘状模型,暗物质晕由球体变成扁平的类似扁椭球体或飞碟形状,$M_\mathrm{d}$的曲线变得平缓,暗物质晕在半径较大的区域比例大幅度下降,简化螺旋星系旋转曲线半径较大的部分将不再陡峭.
综合的结果,简化螺旋星系旋转曲线会更逼近真实星系旋转曲线.更精确的分析需要借助计算流体力学的模拟,限于目前的条件,这里只作定性的分析.
11.5 第九行星
冥王星(Pluto,小行星序号:134340 Pluto),从1930年被发现至2006年8月24日止,曾被视为第九颗行星,而之后被国际天文联会重分类为矮行星.从1930年冥王星被发现,至2006年正式为行星下定义,天文学家和一般大众都不断推测第十颗行星的存在.69阋神星(Eris,小行星序号:136199 Eris)是现已知太阳系中第二大的矮行星,在所有围绕太阳运行的天体中质量排名第九,比冥王星重约27%.因为阋神星看起来比冥王星要大,所以一开始它的发现者和NASA把其称之为太阳系的第十大行星.但随着其他类似大小天体的陆续发现,符合行星定义的太阳系天体数量骤增,促使国际天文联合会第一次重新进行行星定义.70太阳系中的矮行星按照体积排名,依次是冥王星(Pluto)、阋神星(Eris)、妊神星(Haumea)、鸟神星(Makemake).2006的行星重定义将冥王星从行星的名单中剔除,阋神星也不可能以轨道优势的原则跻身为第十颗行星.如果没有其他定义上的变动,符合标准的任何对象将会被分类为第九颗行星,而不是第十颗行星.69研究者发现已知的柯伊伯带天体轨道分布表明这些天体极有可能受到一颗大行星的引力作用,推断在海王星外存在一颗未发现的大行星.[32]
加州理工学院两位行星天文学教授康斯坦丁·巴蒂金(Konstantin Batygin)和迈克·布朗(Mike Brown)发现了一个巨型行星的证据,它在外太阳系中追踪一个奇怪的、高度拉长的轨道.这个被命名为"第九行星(Planet Nine)"的物体的质量大约是地球的10倍,其轨道距离太阳的平均距离是海王星的20倍(海王星的轨道距离平均为28亿英里).事实上,这颗新行星需要1万到2万年的时间才能围绕太阳运行一圈.
康斯坦丁·巴蒂金和迈克·布朗通过数学建模和计算机模拟发现了这颗行星的存在,但尚未直接观察到该物体."这将是一颗真正的第九颗行星,"Richard and Barbara Rosenberg的行星天文学教授迈克·布朗说,"自古以来只发现了两颗真正的行星,这将是第三颗.它是我们太阳系中相当大的一部分,仍有待发现,这非常令人兴奋."布朗指出,这颗假定的第九颗行星——质量是冥王星的5000倍——足够大,因此对于它是不是一颗真正的行星应该没有争议.与现在被称为矮行星的一类较小的天体不同,九号行星在引力上主宰着它在太阳系的附近的位置.事实上,它主宰的区域比其他任何已知的行星都要大——布朗说这一事实使它成为"整个太阳系中最有行星特色的行星".71
图47 第九行星示意图 来源:72
Figure 47 Schematic diagram of the ninth planet Source: 72
康斯坦丁·巴蒂金和迈克·布朗发现,六颗海王星外天体(Trans-Neptunian object,TNO)的轨道分布得到最佳地模拟重现的条件是加入一个10倍地球质量的行星并具有如下的轨道特征:
半长轴a$ ≈ $700AU(轨道周期7001.5=18520年)
偏心率e$ ≈ $0.6(近日点 = a(1-e) = 280AU,远日点 = a(1+e) = 1120AU)
因为缺乏数据的缘故,这里只作简单的分析.
前面的分析得出的结论,在膨胀的宇宙中,星系的中暗物质总质量与物质总质量的比值$k_\mathrm{d} = 1 + \sqrt{2} ≈ 2.414$.这个结论对于太阳系同样适用.不考虑太阳系暗物质晕的环绕运动,假设暗物质晕相对于太阳系是静止的流体,暗物质晕的应该是一个球体.太阳系的总质量是$1.0014 M_{\bigodot}$,太阳包含了太阳系的绝大部分质量.注意这里的总质量应该是太阳系可观测天体的质量总和,并未计入暗物质质量.按照前面的结论,太阳系还有对应于物质总质量约2.414倍的暗物质晕.因为银河系本身就在暗物质晕中,因此在太阳系的暗物质晕外围部分暗物质密度不为0,来自暗物质晕外部四面八方的暗物质对太阳系星系恒星、行星同样存在引力作用.因为边界呈球对称,接近太阳系中心的位置受到暗物质晕外部的暗物质合力约等于0,受到暗物质晕内部的暗物质的合力约等于0.根据康斯坦丁·巴蒂金和迈克·布朗模拟结果,暗物质晕在六颗海王星外天体轨道附近的质量分布导致的可观测引力效应并不大,等价于一颗10倍地球质量的行星产生的效果.为什么在柯伊伯带天体轨道发现异常,而内部的行星轨道异常没有这么明显呢?合理的解释是,太阳系暗物质晕的边界半径较大,暗物质的密度较小,在距离太阳系中心半径比较远的地方,暗物质的重力效应才比较明显.对于太阳系内部的行星,这种暗物质分布引起的重力效应并不大,不容易被察觉到.
与第九行星类似,太阳系存在先驱者号异常现象(Pioneer anomaly).先驱者10号和先驱者11号航天器在离开太阳的轨道上经过约20个天文单位后与理论预测的加速度存在偏差.传回来的无线电追踪数据分析,当探测器处于距太阳20至70个天文单位的距离时,其讯号有一些稍微异常的多普勒频率漂移现象出现.这种漂移情况,表示探测器不断以$\left( 8.74 \pm 1.33 \right) \times 10^{- 10} m \cdot s^{- 2}$的加速度减速.[33]换句话说,像是有种外来力量迫使先驱者探测船减速.多年来,这个明显的异常一直是人们非常感兴趣的问题.目前提出的解释包括:热反冲力、柯伊伯带或暗物质的引力、行星际物质的阻力、航天器气体泄漏、观测误差、时钟加速等原因.73
用暗物质晕可以解释这个现象,原理与第九行星类似.离太阳系越远,根据壳层定理,对应的暗物质产生的引力就越大.暗物质晕等价效应的"第九行星"有10倍地球质量,相对于太阳系总质量微不足道,但不可忽略,这正是微小负加速度的来源.
假设先驱者航天器仅仅受到太阳的质量和太阳系周围的暗物质质量的影响,不考虑银河系和其他天体的引力,联立牛顿第二运动定律和万有引力定律
$$\begin{equation*}F=m a= \frac {G M m}{r^2} \tag{11.5 - 1}\end{equation*}$$
前面已经分析出球状中心天体周围的暗物质晕密度近似不变,那么太阳系的总质量为
$$\begin{equation*}M=M_{0}+\frac{4}{3}\pi r^3 \rho_{\mathrm{d}} \tag{11.5 - 2}\end{equation*}$$
可得:
先驱者航天器的加速度
$$\begin{equation*}a=\frac{G M_{0}}{r^2}+\frac{4}{3} \pi G \rho_{\mathrm{d}} r \tag{11.5 - 3}\end{equation*}$$
暗物质晕的密度
$$\begin{equation*}\rho_{\mathrm{d}}= \frac{3 \left(a - \frac {G M_{0}}{r}\right)}{4 \pi G r} \tag{11.5 - 4}\end{equation*}$$
在一定范围内,先驱者航天器的半径近似不变,先驱者航天器的加速度中,$\frac{G M_{0}}{r^2}$是已知的,$\frac{4}{3} \pi G \rho_{\mathrm{d}} r$近似不变,是异常加速度的来源.这就解释了观测到先驱者10号和先驱者11号航天器存在理论预测之外的加速度,而且这个加速度看起来近似保持不变.此外,根据先驱者航天器的加速度漂移精确信息,可以计算太阳系的暗物质密度,甚至可以计算太阳系的暗物质边界半径.