10 暗物质晕流体分析

物质有四个基本状态,固体、液体、气体、等离子体.⁵³

液体有确定的形状,但有一定体积,具有移动与转动等运动性.液体是由经分子间作用力结合在一起的微小振动粒子(例如原子和分子)组成.水是地球上最常见的液体.和气体一样,液体可以流动,可以容纳于各种形状的容器.有些液体不易被压缩,而有些则可以被压缩.和气体不同的是,液体不能扩散布满整个容器,而是有相对固定的密度.液体的一个与众不同的属性是表面张力,它可以导致浸润现象.液体的密度通常接近于固体,而远大于气体.因此,液体和固体都被归为凝聚态物质.另一方面,液体和气体都可以流动,都可被称为流体.⁵⁴

气体可以由单个原子(如稀有气体)、一种元素组成的单质分子(如氧气)、多种元素组成化合物分子(如二氧化碳)等组成.气体混合物可以包括多种气体物质,比如空气.气体与液体和固体的显著区别就是气体粒子之间间隔很大.这种间隔使得人眼很难察觉到无色气体.气体与液体一样是流体:它可以流动,可变形、压缩.假如没有限制(容器或力场)的话,气体可以扩散,其体积不受限制,没有固定.气态物质的原子或分子相互之间可以自由运动.⁵⁵

根据以上定义,同时考虑暗物质之间存在斥力的属性,认为暗物质晕属于气体.

先不考虑暗物质与暗物质之间的远程斥力,只考虑暗物质与暗物质之间的近程斥力.

流体(气体、液体)流动时,如果流体中任意一点的速度、压强、密度、温度等等物理量都不随时间变化,则这种流动就称为定常流动.

假设中心天体周围的暗物质晕是环绕一个轴转动的定常流动,假设暗物质流体是无黏性流体.

伯努利原理(Bernoulli's principle),又称伯努利定律(Bernoulli's Law),是流体力学中的一个定律,由瑞士数学家丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli)于1738年在他的《流体动力学》(Hydrodynamica)一书中发表了该原理.伯努利原理指出,无黏性的流体的速度增加时,流体的压力能和势能总和将减少.⁵⁶伯努利方程的数学表达形式:

$$\begin{equation*}\frac{v^{2}}{2 g} + h + \frac{p}{\rho g} = C_\mathrm{a} \tag{10 - 1}\end{equation*}$$

其中:

$v$ 流体速度

$g$ 重力加速度(地球表面的值约为9.8$m / s^{2}$)

$h$ 流体处于的深度(从某参考点计)

$p$ 流体所受的压力强度

$\rho$ 流体质量密度

$C_\mathrm{a}$ 常数

对上式作恒定变换可得

$$\begin{equation*}\frac{v^{2}}{2} + g h + \frac{p}{\rho} = C_\mathrm{b} \tag{10 - 2}\end{equation*}$$

其中$C_\mathrm{b} = C_\mathrm{a} g$是常数

理想气体定律(Ideal gas law),是一种假设的理想气体的状态方程.它很好地近似了许多气体在许多条件下的行为,尽管它有几个局限性.1834年,法国物理学家埃米尔·克拉佩龙(Benoît Paul Émile Clapeyron)首次将其表述为经验玻意耳-马略特定律(Boyle-Mariotte law)、查理定律(Charles's law)、阿伏伽德罗定律(Avogadro's law)和盖-吕萨克定律(Gay-Lussac's law)的组合.⁵⁷理想气体定律通常以经验形式写成:

$$\begin{equation*}pV = n R_\mathrm{n} T \tag{10 - 3}\end{equation*}$$

其中,$p$ 理想气体的压强,$V$ 理想气体的体积,$n$ 气体物质的量(通常是摩尔),$R_\mathrm{n}$ 理想气体常数,$T$ 理想气体的热力学温度.

理想气体常数$R_\mathrm{n}$存在以下恒定关系⁵⁸:

$$\begin{equation*}R_\mathrm{n} = k_\mathrm{B} N_\mathrm{A} \tag{10 - 4}\end{equation*}$$

上式中,$k_\mathrm{B}$ 玻尔兹曼常数,$N_\mathrm{A}$ 阿伏伽德罗常数.

根据气体密度的定义

$$\begin{equation*}M = \rho V \tag{10 - 5}\end{equation*}$$

上式中,$M$ 气体的质量,$V$ 气体的体积,$\rho$ 气体的密度.

根据摩尔质量的定义⁵⁹

$$\begin{equation*}M = n M_\mathrm{mol} \tag{10 - 6}\end{equation*}$$

上式中,$M$ 气体的质量,$n$ 气体物质的量,$M_\mathrm{mol}$ 气体的摩尔质量.

由10 - 3、10 - 4、10 - 5、10 - 6式可得

$$\begin{equation*}p = \frac{k_\mathrm{B} N_\mathrm{A} T}{M_\mathrm{mol}} \rho \tag{10 - 7}\end{equation*}$$

假设目前研究的暗物质气体是等温的,令

$$\begin{equation*} \frac {1} {C_{\rho}} = \frac{k_\mathrm{B} N_\mathrm{A} T}{M_\mathrm{mol}} \tag{10 - 8}\end{equation*}$$

易得$C_{\rho}$对于暗物质气体来说是一个常数.代入10 - 7式

$$\begin{equation*}p = \frac {1} {C_{\rho}} \rho \tag{10 - 9}\end{equation*}$$

由上面等式可得,暗物质气体的压强与密度成正比.当$p = 0$时,$\rho = 0$.这里补充定义,上面的等式是一个近似公式,在压强接近0的时候不准确.

定义当$p = 0$时,$\rho ≈ 0$且$\rho ≠ 0$.

假设宇宙单元暗物质总质量$M_\mathrm{d}$与中心天体质量$M_\mathrm{m}$的比值$k_\mathrm{d} ≈ 0$,暗物质与暗物质之间的远程斥力可以忽略不计.假设中心天体是球体.下面对这种情况进行分析.

(1) 宇宙单元暗物质比例接近0,暗物质晕存在角动量

下图中展示一个暗物质微粒B与中心天体A(由物质组成),B绕竖轴围着A旋转.

图21  暗物质微粒绕中心天体旋转的受力分析

Figure 21  Force analysis of dark matter particles rotating around the central celestial body

约定:$m_\mathrm{m}$ A的质量,$m_\mathrm{d}$ B的质量,$F_\mathrm{md}$ B受到的来自A的重力,$r$ A B的中心距离,$\theta$ A B的中心连线与水平线的夹角,$v$ B匀速圆周运动的线速度,$g$ B的重力加速度.

由重力提供重力加速度

$$\begin{equation*}F_\mathrm{md} = \frac{G M_\mathrm{m} m_\mathrm{d}}{r^{2}} = m_\mathrm{d} g \tag{10 - 10}\end{equation*}$$

对于匀速圆周运动,向心加速度大小为

$$\begin{equation*}a_\mathrm{R} = \frac{v^{2}}{r} \tag{10 - 11}\end{equation*}$$

由牛顿第二力学定律和几何关系可得

$$\begin{equation*}m_\mathrm{d} a_\mathrm{R} = F_\mathrm{md} \cos [\theta] \tag{10 - 12}\end{equation*}$$

流体处于的深度选取A的球面为零点,A的球体半径为$R$,$h$变为

$$\begin{equation*}h = r - R \tag{10 - 13}\end{equation*}$$

联合10 - 2、10 - 10、10 - 11、10 - 12、10 - 13式得到一个关于$r$的一元二次方程,舍去一个无效的解可得

$$\begin{equation*}r = \frac{2 G\rho M_\mathrm{m} + G\rho \cos [\theta] M_\mathrm{m}}{4 ( \rho C_\mathrm{b} - p )} + \frac{\sqrt{8 GR\rho ( 2 p - 2 \rho C_\mathrm{b} ) M_\mathrm{m} + ( 2 G\rho M_\mathrm{m} + G\rho \cos [\theta] M_\mathrm{m} )^{2}}}{4 ( \rho C_\mathrm{b} - p )} \tag{10 - 14}\end{equation*}$$

下面关注暗物质晕中压强等于0的等压面.压强等于0的等压面相当于暗物质的外形轮廓.

约定B流体压强$p = 0$时,对应的半径是$r_{p 0}$.$p = 0$时,$\rho ≠ 0$.代入10 - 14式,化简可得

$$\begin{equation*}r_{p 0} = \frac{G ( 2 + \cos [\theta] ) M_\mathrm{m} + \sqrt{G M_\mathrm{m} ( - 16 R C_\mathrm{b} + G ( 2 + \cos [\theta] )^{2} M_\mathrm{m} )}}{4 C_\mathrm{b}} \tag{10 - 15}\end{equation*}$$

绘制$r_{p 0}$的平面图和立体图

 

图22  暗物质比例较小、暗物质晕存在角动量时,暗物质晕的外形剖面图和立体图

Figure 22  When the proportion of dark matter is small and the dark matter halo has angular momentum, the cross-sectional view and the three-dimensional view of the dark matter halo

特别的,当把中心天体视为一个点,球体半径$R ≈ 0$时,10 - 15式变为

$$\begin{equation*}r_{p 0} = \frac{G ( 2 + \cos [\theta] ) M_\mathrm{m}}{2 C_\mathrm{b}} \tag{10 - 16}\end{equation*}$$

绘制$r_{p 0}$的平面图

图23  暗物质比例较小、暗物质晕存在角动量、中心天体体积忽略不计时,暗物质晕的外形剖面图

Figure 23  When the proportion of dark matter is small, the dark matter halo has angular momentum and the volume of the central celestial body is negligible, the cross-sectional view and the three-dimensional view of the dark matter halo

假设宇宙单元暗物质与中心天体质量相比可以忽略,并且暗物质晕存在环绕流动情况下,暗物质晕的边界是一个类似苹果的形状.

(2) 宇宙单元暗物质比例较大,暗物质晕存在角动量

计算流体力学(Computational Fluid Dynamics,CFD)是21世纪流体力学领域的重要技术之一,使用数值方法在计算机中对流体力学的控制方程进行求解,从而可预测流场的流动.⁶⁰

如要计算暗物质晕的边界,需要先对暗物质流体网格化处理,离散化方法包括有限体积法(Finite Volume Method)、有限单元法(Finite Element Method)、有限差分法(Finite Difference Method,FDM)等,再求解网格化的流体力学偏微分方程.CFD分析软件Ansys Fluid和Simcenter FLOEFD对于重力场设置中只有恒定加速度场,没有设置变加速度场的选项.

图24  存在角动量的暗物质晕计算流体力学网格化分析

Figure 24  CFD meshing analysis of dark matter halo with angular momentum

这里只做简单的分析,假设环流暗物质晕中,一开始暗物质晕没有远程斥力,斥力只存在于彼此靠近的暗物质微粒之间,斥力的远程效应为0.那么一开始暗物质晕的形状是(1)分析的形状,比例从0开始逐渐增加斥力的远程效应,那么外围的暗物质流因为合力变小,不足以维持原有的匀速圆周运动,有向外运动的趋势,那么原来的苹果形状沿着旋转的平面拉长变扁.

假设稳定后的形状和原来的苹果形状相似,竖直方向上存在一个比例系数$k_\mathrm{shape}$,随着半径增大而逐渐变为0,假设这个比例系数是最简单的直线,$R_\mathrm{d}$是暗物质的最大半径.

图25  $R_\mathrm{d}$函数图像

Figure 25  Graph of the $R_\mathrm{d}$function

图22中苹果形状暗物质晕外形,垂直的高度乘以比例系数$k_\mathrm{shape}$,图形变换可得下图.

图26  使用$k_\mathrm{shape}$对暗物质晕苹果形状变换得到的飞碟形状

Figure 26  Using $k_\mathrm{shape}$ to transform the dark matter halo apple shape into a flying saucer shape

按照目前的猜测,存在角动量的星系暗物质晕是一个类似飞碟的形状.

(3) 宇宙单元暗物质比例接近0,暗物质晕没有角动量

因为重力的关于中心的几何对称,这个时候暗物质晕的形状是一个球体.

图27  重力场中的静止流体微团力学分析

Figure 27  Mechanical analysis of a static fluid microcluster in gravity field

为了避免微分的括号与其他括号混淆,这里使用$\mathrm{d} [x]$表示自变量$x$的增量.重力场中的静止流体微团的力学平衡关系可得

$$\begin{equation*}\mathrm{d}[p] \frac{\mathrm{d}[V]}{\mathrm{d}[h]} = - \rho \mathrm{d}[V] g \tag{10 - 17}\end{equation*}$$

对上式作恒定变换

$$\begin{equation*}\mathrm{d}[p] = - \rho g \mathrm{d}[h] \tag{10 - 18}\end{equation*}$$

联合10 - 9、10 - 10、10 - 13、10 - 18式可得

$$\begin{equation*}\frac{\mathrm{d}[p]}{p} = - \frac{ G M_\mathrm{m} C_{\rho}}{( h + R )^{2}} \mathrm{d}[h] \tag{10 - 19}\end{equation*}$$

对上式进行积分,并使用边界条件$\left\{ p → p_{0} , h → 0 \right\}$,可得

$$\begin{equation*}p = p_{0} e^{\displaystyle - \frac{ Gh C_{\rho} M_\mathrm{m}}{hR + R^{2}}} \tag{10 - 20}\end{equation*}$$

当$h → \infty$时,上式右边存在极限

$$\begin{equation*}\lim_{h \rightarrow \infty} p_{0} e ^{\displaystyle - \frac{ Gh C_{\rho} M_\mathrm{m}}{hR + R^{2}}} = p_{0} e ^{\displaystyle - \frac{ G C_{\rho} M_\mathrm{m}}{R}} \tag{10 - 21}\end{equation*}$$

绘制10 - 20式的函数图像

图28  10 - 20式的函数图像

Figure 28  Graph of the function of equation 10 - 20

可以看到,随着半径的增大,暗物质气体压强的函数图像接近一条水平线.根据10 - 9式,暗物质气体的压强与密度成正比,上面的函数图像同样适用于暗物质气体的密度.

假设暗物质晕没有角动量,忽略接近中心天体球面的部分,暗物质晕沿着径向密度和压强几乎不变.这个结论意味着,暗物质晕近似一个均质的球体,可以应用壳层定理对整体受力简化处理.

在经典力学中,壳层定理(Shell Theorem)给出了可应用于球对称体内部或外部的物体的引力简化.这个定理特别适用于天文学.艾萨克·牛顿(Isaac Newton)证明了壳层定理并指出:

• 球对称物体对于球体外的重力贡献如同将球体质量集中于球心.
• 在对称球体内部的物体不受其外部球壳的重力影响.⁶¹

约定均质球体的质量为$M$,半径为$R$,空间中有一个质量为$m$的微粒与均质球体中心的距离是$r$,微粒受到球体的重力合力为$F_\mathrm{total}$.

图29  均质球体外一点

Figure 29  A point outside a homogeneous sphere

图30  均质球体内一点

Figure 30  A point inside a homogeneous sphere

球体之外的重力

$$\begin{equation*}F_\mathrm{total} = \frac{GMm}{r^{2}} \tag{10 - 22}\end{equation*}$$

球体之内的重力

$$\begin{equation*}F_\mathrm{total} = \frac{GMm}{R^{3}} r \tag{10 - 23}\end{equation*}$$

注意,上面的式子原来是用于二者之间的引力,对于斥力同样适用,只需要变换方向或正负号.

(4) 宇宙单元暗物质比例较大,暗物质晕没有角动量

这个时候需要考虑暗物质与暗物质之间的重力,这个斥力的远程效应已经比较明显,不可忽略.约定中心天体的半径$R$,暗物质晕半径$R_\mathrm{d}$,中心天体质量为$M_\mathrm{m}$,暗物质晕总质量为$M_\mathrm{d}$,$M_\mathrm{d}$与$M_\mathrm{m}$的比值为$k_\mathrm{d}$.暗物质晕中任意一点B,B与中心天体距离$r$,B的质量$m_\mathrm{d}$,B受到中心天体的重力$F_\mathrm{md}$,受到B暗物质晕的重力$F_\mathrm{dd}$,二者的合力$F_\mathrm{d}$,B与球面的距离$h$,B的密度$\rho$,B的重力加速度$g$,B点暗物质晕的压强是$p$.为了简化分析,假设中心天体内存在暗物质,并且密度与暗物质晕中的暗物质密度相同.

假设宇宙单元之间没有充满暗物质,除了暗物质晕的地方,是绝对真空,没有物质也没有暗物质.易得$k_\mathrm{d} ≤ 1 + \sqrt{2}$,因为当$k_\mathrm{d} > 1 + \sqrt{2}$时,外面一部分暗物质晕受到的合力远离中心,在合力作用下远离星系单元.原来的暗物质晕边界将重新变化,直至$k_\mathrm{d} ≤ 1 + \sqrt{2}$.

先假设暗物质晕是球体,沿着径向是均匀分布,压强和密度不变.暗物质与暗物质之间的重力,可以应用壳层定理简化处理.

图31  暗物质晕与中心天体相对静止,呈球形分布在中心天体四周

Figure 31  The dark matter halo is relatively stationary with the central celestial body, and is spherically distributed around the central celestial body

前面的结论有

$$\begin{equation*}M_\mathrm{d} = k_\mathrm{d} M_\mathrm{m} \tag{9 - 2}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*}p = \frac {1} {C_{\rho}} \rho \tag{10 - 9}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*}h = r - R \tag{10 - 13}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*}\mathrm{d}[p] = - \rho g \mathrm{d}[h] \tag{10 - 18}\end{equation*}$$

应用壳层定理可得

$$\begin{equation*}F_\mathrm{md} = \frac{G M_\mathrm{m} m_\mathrm{d}}{r^{2}} \tag{10 - 24}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*}F_\mathrm{dd} = - \frac{ G M_\mathrm{d} m_\mathrm{d}}{R_\mathrm{d}^{3}} r \tag{10 - 25}\end{equation*}$$

对B点受力分析可得

$$\begin{equation*}F_\mathrm{d} = m_\mathrm{d} g \tag{10 - 26}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*}F_\mathrm{d} = F_\mathrm{md} + F_\mathrm{dd} \tag{10 - 27}\end{equation*}$$

联合9 - 2、10 - 9、10 - 13、10 - 18、10 - 24、10 - 25、10 - 26、10 - 27式可得

$$\begin{equation*}\frac{\mathrm{d}[p]}{p} = \frac{G C_{\rho} M_\mathrm{m} ( ( h + R )^{3} k_\mathrm{d} - R_\mathrm{d}^{3} )}{( h + R )^{2} R_\mathrm{d}^{3}} \mathrm{d}[h] \tag{10 - 28}\end{equation*}$$

对上式进行积分,并使用边界条件$\left\{ p → p_{0} , h → 0 \right\}$,可得

$$\begin{equation*}p=p_0 e^ {\displaystyle\frac{1}{2} G h C_{\rho } M_\mathrm{m} (\frac{k_{\mathrm{d}} (h+2 R)}{R_{\mathrm{d}}^3}-\frac{2}{R (h+R)})} \tag{10 - 29}\end{equation*}$$

令

$$\begin{equation*}k_\mathrm{p} = \frac{G k_\mathrm{d} M_\mathrm{m}}{R_\mathrm{d}^{3}} \tag{10 - 30}\end{equation*}$$

绘制暗物质晕的压强的函数图像:

图32  10 - 29式的函数图像

Figure 32  Graphs of the function of equation 10 - 29

上图中,随着系数$k_\mathrm{p}$的变化,函数图像形状发生变化.随着$k_\mathrm{p}$数值的变小,图中$h ≈ 0$的曲线部分高度逐渐变低.特别的,当$k_\mathrm{p}$数值足够小时,函数图像接近一个水平的直线,这意味着暗物质晕沿着半径方向压强和密度几乎不变,满足开始的暗物质晕均匀假设.