周飞飞的博客
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19 时空虚数维度概念在量子力学领域的拓展

19.1 薛定谔方程的启发式推导过程的重现

引入时空的虚数维度,似乎可以解决量子力学中信息传递超光速和因果倒置的问题.

薛定谔方程(Schrödinger equation)是量子力学基础方程之一,由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔(Erwin Schrödinger)于1926年发表.

在几个启发式假设的基础上,薛定谔方程可以推导出来.[55]大部分的量子力学教程,常常把薛定谔方程作为一个基本的假设,并没有展示薛定谔方程的推导过程.

重现薛定谔方程的推导过程有助于发现新的规律.

动能关系式

$$\begin{equation*} E_k = \frac{1}{2}mv^2 \tag{19.1 - 1}\end{equation*}$$

动量关系式

$$\begin{equation*} p = m v \tag{19.1 - 2}\end{equation*}$$

使用动量表示动能

$$\begin{equation*} E_k = \frac{p^2}{2m} \tag{19.1 - 3}\end{equation*}$$

粒子的总能量等于动能和势能的和

$$\begin{equation*} E = E_k+V \tag{19.1 - 4}\end{equation*}$$

代入19.1 - 3式

$$\begin{equation*} E = \frac{p^2}{2m}+V \tag{19.1 - 5}\end{equation*}$$

普朗克-爱因斯坦关系式

$$\begin{equation*} E = h \nu \tag{19.1 - 6}\end{equation*}$$

角速度和频率的关系

$$\begin{equation*} \omega = 2\pi \nu \tag{19.1 - 7}\end{equation*}$$

约化普朗克常数与普朗克常数的关系

$$\begin{equation*} \hbar \equiv {\frac {h}{2\pi }} \tag{19.1 - 8}\end{equation*}$$

19.1 - 7、19.1 - 8式代入19.1 - 6式

$$\begin{equation*} E = \hbar \omega \tag{19.1 - 9}\end{equation*}$$

物质波的波长与动量关系

$$\begin{equation*} p = \frac {h} {\lambda} \tag{19.1 - 10}\end{equation*}$$

波数与波长的关系

$$\begin{equation*} k = \frac{2\pi } {\lambda} \tag{19.1 - 11}\end{equation*}$$

19.1 - 8、19.1 - 11式代入19.1 - 10式

$$\begin{equation*} p = \hbar k \tag{19.1 - 12}\end{equation*}$$

假设波函数是一个指数函数,而且与虚数相关

$$\begin{equation*} \Psi = \Psi[x,t] = Ae^{i(kx - \omega t)} \tag{19.1 - 13}\end{equation*}$$

波函数关于时间的导数

$$\begin{equation*} \frac{\partial \Psi}{\partial t} = - i\omega \Psi \tag{19.1 - 14}\end{equation*}$$

变换可得

$$\begin{equation*} i \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \omega \Psi \tag{19.1 - 15}\end{equation*}$$

波函数关于x的二次导数

$$\begin{equation*} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = -k^2\Psi \tag{19.1 - 16}\end{equation*}$$

由19.1 - 12、19.1 - 16式可得

$$\begin{equation*} p^2 = \frac{p^2 \Psi}{\Psi} = \frac{\hbar^2 k^2 \Psi}{\Psi} = - \hbar^2\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} \frac{1}{\Psi} \tag{19.1 - 17}\end{equation*}$$

由19.1 - 9、19.1 - 15式可得

$$\begin{equation*} E = \frac{E \Psi}{\Psi} = \frac{\hbar \omega \Psi}{ \Psi} = i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} \frac{1}{\Psi} \tag{19.1 - 18}\end{equation*}$$

前面得到粒子的总能量与动量的关系

$$\begin{equation*} E = \frac{p^2}{2m}+V \tag{19.1 - 5}\end{equation*}$$

19.1 - 17、19.1 - 18式代入19.1 - 5式

$$\begin{equation*} i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} \frac{1}{\Psi} = \frac{- \hbar^2\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} \frac{1}{\Psi}}{2m}+V \tag{19.1 - 19}\end{equation*}$$

变换可得一维空间薛定谔方程

$$\begin{equation*} i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{ \hbar^2 }{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} +V \Psi \tag{19.1 - 20}\end{equation*}$$

对波函数使用三角函数展开

$$\begin{equation*} A e^ {i (k x-\omega t )}=A \cos [k x-\omega t ]+A \sin [k x-\omega t ] i \tag{19.1 - 21}\end{equation*}$$

图88  复平面中波函数的图像

Figure 88  Graph of the wave function in the complex plane

下面开始对这个波函数的三角展开进行解读.

任何一个微观世界的基本粒子,可以分为空间和时间的实数部分和虚数部分.假设我们能够观测到的世界称之为实世界,我们包括实世界无法观测到的世界称为虚世界,虚世界与实世界空间坐标一致.

玻恩定则(Born rule)指出在测量时找到处于给定状态的系统的概率密度与该状态下系统波函数的振幅的平方成正比.它是由德国物理学家马克斯·玻恩(Max Born)于19126年提出的.

一个波函数自身与自身干涉,并且产生波函数坍缩,被我们所在的实世界观测到,那么我们看到的是$\Psi[x,t]^2$,从而得到概率密度与波函数的振幅的平方成正比.假设实世界等于微观世界的基本粒子的波函数坍缩部分,并且其空间和时间维度只有实数部分,虚世界等于微观世界的基本粒子的波函数未坍缩部分,其空间和时间维度同时包含实数部分和虚数部分.

光子自身与自身干涉后形成一个可观测光子,并且有了确定的路径,这才可以被我们观测.这其中包含两个条件:

定义:下文如非特别指名,提及实世界和虚世界时,忽略波函数在空间的实数维度的分量没有坍缩的部分,这意味着微观世界的基本粒子波函数的时间和空间的实数部分对应于实世界,时间和空间的虚数部分对应于虚世界.

观察发现,推导出薛定谔方程,依赖于波函数是复变函数并且与时间和空间相关的假设,同时也依赖于能量守恒定理.

在这其中,波函数对于时间的导数和波函数对于空间的二次导数的结果会影响能否推导出正确的薛定谔方程.

$$\begin{equation*} \frac{\partial \Psi}{\partial t} = - i\omega \Psi \tag{19.1 - 14}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = -k^2\Psi \tag{19.1 - 16}\end{equation*}$$

尝试变换波函数中时间系数与空间系数的正负号.

表19  不同的时间系数与空间系数对${\displaystyle \frac{\partial \Psi}{\partial t}}$和${\displaystyle \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}}$的影响

Table 19  Effect of different time coefficients and space coefficients on ${\displaystyle \frac{\partial \Psi}{\partial t}}$ and ${\displaystyle \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}}$

$\Psi$ $A e^{i (k x-\omega t )}$ $A e^{i (k x+\omega t )}$ $A e^{i (-k x+\omega t)}$ $A e^{i (-k x-\omega t )}$
${\displaystyle \frac{\partial \Psi}{\partial t}}$ $-i A \omega e^{i (k x-\omega t )}$ $i A \omega e^{i (k x+\omega t )}$ $i A \omega e^{i (-k x+\omega t)}$ $-i A \omega e^{i (-k x-\omega t )}$
${\displaystyle \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}}$ $-A k^2 e^{i (k x-\omega t )}$ $-A k^2 e^{i (k x+\omega t )}$ $-A k^2 e^{i (-k x+\omega t)}$ $-A k^2 e^{i (-k x-\omega t )}$
${\displaystyle \frac{\partial \Psi}{\partial t}}$ $-i \omega \Psi$ $i \omega \Psi$ $i \omega \Psi$ $-i \omega \Psi$
${\displaystyle \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}}$ $-k^2 \Psi$ $-k^2 \Psi$ $-k^2 \Psi$ $-k^2 \Psi$

观察发现,空间系数的正负号并不会影响波函数对于空间的二次导数的结果,时间系数的正负号会影响波函数对于时间的导数的结果.

提取出波函数中与时间相关的部分

${\displaystyle e^{i (-\omega t )}}$

那么$-\omega t i$尤其是这个时间系数的负号是否存在物理意义呢?还是仅仅是一种数学上的结构呢?

回答这个问题,需要波动学或者光学的相关知识.

$A e^{i (k x-\omega t )}$ , $A e^{i (k x+\omega t )}$ , $A e^{i (-k x+\omega t)}$ , $A e^{i (-k x-\omega t )}$ 这个四个波函数是简谐波函数的一维形式,可以通过欧拉公式把复数指数形式的波函数转换为余弦函数和正弦函数的和.

令$k$和$\omega$可以取正值也可以取负值,得到前面四个波函数的一般形式 $A e^{i (k x+\omega t )}$.

对这个波函数一般形式使用三角函数展开

$$\begin{equation*} A e^{i (k x+\omega t )} = A \cos [k x+\omega t ]+A \sin [k x+\omega t ] i \tag{19.1 - 22}\end{equation*}$$

波函数的实部$A \cos [k x+\omega t ]$,相速度等于

$$\begin{equation*} v_p = -\frac {\omega}{k} \tag{19.1 - 23}\end{equation*}$$

波函数$x$和$t$这两个变量的系数的正负值是否相同,会影响相速度取值的正反.恰好前面推导薛定谔方程中选择了其中一种情形,$x$和$t$这两个变量的系数的正负值相反,这导致19.1 - 16式中波函数对于时间的导数是负值.如果一开始波函数选择$x$和$t$这两个变量的系数的正负值相同的形式,那么波函数对于时间的导数会改变,一维空间薛定谔方程也会改变.

当波函数中$x$和$t$这两个变量的系数的正负值相同的时候,得到一维空间薛定谔方程的另一个版本

$$\begin{equation*} i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{ \hbar^2 }{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} +V \Psi \tag{19.1 - 24}\end{equation*}$$

19.2 从时空无关特性推导出带负号的时间虚数维度系数

下面尝试在一些假设的基础上推导出带有负号的时间系数.

笔者初期以为薛定谔方程只有一种版本,也忽视了$x$和$t$这两个变量的系数的正负值会改变波函数的相速度这一合理的解释,认为$-\omega t i$尤其是这个时间系数的负号有其他的解释.在寻找答案过程中,得到意外的收获.

第4章广义复数分类表中提到的复数和对复数可以构建指数函数和三角函数.

表20  复数和对复数单位向量之间的乘法规则

Table 20  Rules for multiplication between unit vectors of complex numbers and paired complex numbers

$z$类型 $k·k$ $i·i$ $k·i$ $i·k$
复数 $+k$ $-k$ $+i$ $+i$
对复数 $+k$ $-k$ $-i$ $-i$

图89  欧拉公式在复数的复平面中的图示

Figure 89  Graph of Euler's formula in the complex plane of complex numbers

图90  欧拉公式在对复数的复平面中的图示

Figure 90  Graph of Euler's formula in the complex plane of paired complex numbers

复数和对复数的差别在于三角函数的角度的正方向规定不同,复数的三角函数的角度以逆时针方向为正,对复数的三角函数的角度以顺时针方向为正.在复数和对复数的基础上改变单位向量乘法的规则,得到右旋复数和左旋复数.

表21  右旋复数和左旋复数单位向量之间的乘法规则

Table 21  Rules for multiplication between unit vectors of right-handed complex numbers and left-handed complex numbers

$z$类型 $k·k$ $i·i$ $k·i$ $i·k$
右旋复数 $+k$ $-k$ $+i$ $-i$
左旋复数 $+k$ $-k$ $-i$ $+i$

目前的物理体系空间的一个维度使用的是实数,时间的维度使用的也是实数.下面对空间的维度和时间维度的概念进行拓展.

假设空间的一个维度是右旋复数,时间的维度是左旋复数.空间维度相关的复数称为空间复数,空间复数的实数单位向量和虚数单位向量用$k_s$和$i_s$表示.时间维度相关的复数称为时间复数,时间复数的实数单位向量和虚数单位向量用$k_t$和$i_t$表示.不难发现,右旋复数和左旋复数在指定实数单位向量和虚数单位向量乘积的先后顺序后,右旋复数和左旋复数可以变成复数或对复数.这意味着右旋复数和左旋复数也可以构建指数函数和三角函数.

向量的乘积包括标量积(点积)与向量积(叉积).

$$\begin{equation*} \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \ |\vec{b}| \cos [ \theta ] \tag{19.2 - 1}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*} \vec {a} \times \vec {b} =|\vec {a} |\ |\vec {b}| \ \sin[\theta ]\ \vec {n} \tag{19.2 - 2}\end{equation*}$$

当$\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{2}}$时,$\vec{a} \cdot \vec{b}=0$.当$\displaystyle{\theta=0}$时,$\vec{a} \times \vec{b}=0$.

物理中常用是空间坐标,三个方向单位向量两两互相垂直.不同方向的单位向量之间乘积选用标量积,可以表达不同方向的单位向量无关的物理含义,这个时候不同方向的单位向量之间标量积等于0.

时空可以用三个空间维度和一个时间维度表示.在一种空间维度中取得一种空间向量,在时间维度中取得时间向量.空间向量代表着空间维度的方向,时间向量代表着时间维度的方向.空间向量可以用空间复数来表示,时间向量可以用时间复数来表示.对向量的乘积进行拓展,新的乘积就是两个向量的代数乘积.代数乘积符号表示为$\vec{a} \vec{b}$.假设四维时空中,使用不同维度的单位向量之间代数乘积等于0,来表达不同维度不相关的物理含义.

四维时空三个空间维度中的向量分别是$L_x$、$L_y$、$L_z$,时间维度中的向量是$L_t$.

既然四维时空中不同维度不相关,那么四个维度中的向量之间的代数乘积等于0.

$$\begin{equation*} \left\{L_x L_y=0,L_x L_z=0,L_y L_z=0,L_x L_t=0,L_y L_t=0,L_z L_t=0 \right\} \tag{19.2 - 3}\end{equation*}$$

四个维度中的向量使用空间复数和时间复数表示

$$\begin{equation*} \left\{L_x=a_x k_s+b_x i_s,L_y=a_y k_s+b_y i_s,L_z=a_z k_s+b_z i_s,L_t=a_t k_t+b_t i_t\right\} \tag{19.2 - 4}\end{equation*}$$

由右旋复数和左旋复数的单位向量运算规则,可得

$$\begin{equation*} \left\{k_s k_s=k_s,i_s i_s=-k_s,k_s i_s=i_s,i_s k_s=-i_s\right\} \tag{19.2 - 5}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*} \left\{k_t k_t=k_t,i_t i_t=-k_t,k_t i_t=-i_t,i_t k_t=i_t\right\} \tag{19.2 - 6}\end{equation*}$$

空间复数的实数单位向量和虚数单位向量用$k$和$i$表示,并假设右旋复数的实数单位向量与左旋复数的实数单位向量相等.

$$\begin{equation*} \left\{k_s=k,i_s=i,k_t=k\right\} \tag{19.2 - 7}\end{equation*}$$

上式分别代入19.2 - 5、19.2 - 6式,得到

$$\begin{equation*} \left\{k^2=k,i^2=-k,k i=i,i k=-i\right\} \tag{19.2 - 8}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*} \left\{k^2=k,i_t i_t=-k,k i_t=-i_t,i_t k=i_t\right\} \tag{19.2 - 9}\end{equation*}$$

比较19.2 - 8、19.2 - 9式,并联合19.2 - 7式,得到

$$\begin{equation*} \left\{k_s=k,i_s=i,k_t=k,i_t=-i\right\} \tag{19.2 - 10}\end{equation*}$$

上式代入19.2 - 4式,得到

$$\begin{equation*} \left\{L_x=a_x k+b_x i,L_y=a_y k+b_y i,L_z=a_z k+b_z i,L_t=a_t k-b_t i\right\} \tag{19.2 - 11}\end{equation*}$$

空间向量与时间向量的乘积

$$\begin{equation*}\begin{aligned}L_x L_t & =\left(a_x k+b_x i\right) \left(a_t k-b_t i\right)\\& =a_t a_x k^2-a_x b_t k i+a_t b_x i k-b_t b_x i^2 \\ & = \left(a_t a_x+b_t b_x\right) k + \left(-a_x b_t-a_t b_x\right) i \end{aligned}\tag{19.2 - 12}\end{equation*}$$

上式恒等于0,意味着单位向量前面的系数等于0.

$$\begin{equation*} \left\{a_t a_x+b_t b_x=0 , -a_x b_t-a_t b_x=0\right\} \tag{19.2 - 13}\end{equation*}$$

解上面的方程组,得到

$$\begin{equation*} \left((b_x = -a_x) \wedge (b_t = a_t)\right) \vee \left((b_x = a_x) \wedge (b_t = -a_t)\right) \tag{19.2 - 14}\end{equation*}$$

类似的,可以得到

$$\begin{equation*} \left((b_y = -a_y) \wedge (b_t = a_t)\right) \vee \left((b_y = a_y) \wedge (b_t = -a_t)\right) \tag{19.2 - 15}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*} \left((b_z = -a_z) \wedge (b_t = a_t)\right) \vee \left((b_z = a_z) \wedge (b_t = -a_t)\right) \tag{19.2 - 16}\end{equation*}$$

空间向量与空间向量的乘积

$$\begin{equation*}\begin{aligned}L_x L_y & =\left(a_x k+b_x i\right) \left(a_y k+b_y i\right)\\ & =a_x a_y k^2+a_x b_y k i+a_y b_x i k+ b_x b_y i^2 \\ & = \left(a_x a_y-b_x b_y\right) k +\left(a_x b_y-a_y b_x\right)i \end{aligned} \tag{19.2 - 17}\end{equation*}$$

上式恒等于0,意味着单位向量前面的系数等于0.

$$\begin{equation*} \left\{a_x a_y-b_x b_y=0 , a_x b_y-a_y b_x=0\right\} \tag{19.2 - 18}\end{equation*}$$

解上面的方程组,得到

$$\begin{equation*} \left((b_x = -a_x) \wedge (b_y = -a_y)\right) \vee \left((b_x = a_x) \wedge (b_y = a_y)\right) \tag{19.2 - 19}\end{equation*}$$

类似的,可以得到

$$\begin{equation*} \left((b_x = -a_x) \wedge (b_z = -a_z)\right) \vee \left((b_x = a_x) \wedge (b_z = a_z)\right) \tag{19.2 - 20}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*} \left((b_y = -a_y) \wedge (b_z = -a_z)\right) \vee \left((b_y = a_y) \wedge (b_z = a_z)\right) \tag{19.2 - 21}\end{equation*}$$

合并19.2 - 14、19.2 - 15、19.2 - 16、19.2 - 19、19.2 - 20、19.2 - 21式,得到四个维度中的向量的系数存在2组解

$$\begin{equation*}\begin{aligned} \{ &\{ a_z=-b_z , a_y=-b_y , a_x=-b_x , a_t=b_t\},\\ &\{a_z=b_z , a_y=b_y , a_x=b_x , a_t=-b_t\}\}\end{aligned} \tag{19.2 - 22}\end{equation*}$$

四个维度中的向量使用有序对表示

$$\begin{equation*} \left\{L_x= ( a_x,b_x ),L_y= ( a_y,b_y ),L_z= ( a_z,b_z ),L_t= ( a_t,b_t )\right\} \tag{19.2 - 23}\end{equation*}$$

19.2 - 23式代入系数的第1组解

$$\begin{equation*} \left\{L_x= ( a_x,-a_x ),L_y= ( a_y,-a_y ),L_z= ( a_z,-a_z ),L_t= ( a_t,a_t )\right\} \tag{19.2 - 24}\end{equation*}$$

19.2 - 23式代入系数的第2组解

$$\begin{equation*} \left\{L_x= ( a_x,a_x ),L_y= ( a_y,a_y ),L_z= ( a_z,a_z ),L_t= ( a_t,-a_t )\right\} \tag{19.2 - 25}\end{equation*}$$

令

$$\begin{equation*} \left\{a_x = X,a_y = Y,a_z = Z,a_t = T\right\} \tag{19.2 - 26}\end{equation*}$$

四个维度中的向量第1组解变为

$$\begin{equation*} \left\{L_x= ( X,-X ),L_y= ( Y,-Y ),L_z= ( Z,-Z ),L_t= ( T,T )\right\} \tag{19.2 - 27}\end{equation*}$$

四个维度中的向量第2组解变为

$$\begin{equation*} \left\{L_x= ( X,X ),L_y= ( Y,Y ),L_z= ( Z,Z ),L_t= ( T,-T )\right\} \tag{19.2 - 28}\end{equation*}$$

第2组解中时间的虚数维度的系数出现了负号,正是前面需要的结果,选择第2组解,舍弃第1组解.

更换定义,假设空间复数是左旋复数,时间复数是右旋复数,可以得到一样的结果.更换四个时空维度中的向量之间的乘积先后顺序,结果不变.

前面得到时间复数和空间复数的关系式

$$\begin{equation*} \left\{k^2=k,i^2=-k,k i=i,i k=-i\right\} \tag{19.2 - 8}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*} \left\{k_s=k,i_s=i,k_t=k,i_t=-i\right\} \tag{19.2 - 10}\end{equation*}$$

假设实世界对应于单位向量序列$(k_s, k_s, k_s, k_t)$,虚世界对应于单位向量序列$( i_s, i_s, i_s, i_t)$.假设一束光沿着x轴方向传播,$L_x$是这束光的空间向量,$L_t$是这束光的时间向量.实世界中这束光的向量是$(a_x k_s,a_y k_s,a_z k_s,a_t k_t)$,虚世界这束光的向量是$(b_x i_s,b_y i_s,b_z i_s,b_t i_t)$.

在实世界中

$$\begin{equation*} X=c T \tag{19.2 - 29}\end{equation*}$$

添加实数单位向量

$$\begin{equation*} X k =c T k \tag{19.2 - 30}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*} X k_s=c T k_t \tag{19.2 - 31}\end{equation*}$$

统一使用时间实数单位向量

$$\begin{equation*} X k_t=c T k_t \tag{19.2 - 32}\end{equation*}$$

添加虚数单位向量

$$\begin{equation*} X i=c (-T) (-i) \tag{19.2 - 33}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*} X i_s=c (-T) i_t \tag{19.2 - 34}\end{equation*}$$

统一使用时间虚数单位向量

$$\begin{equation*} (-X) (-i)=c (-T) (-i) \tag{19.2 - 35}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*} (-X) i_t=c (-T) i_t \tag{19.2 - 36}\end{equation*}$$

忽略单位向量,在实世界中

$$\begin{equation*} X=c T \tag{19.2 - 29}\end{equation*}$$

忽略单位向量,在虚世界中

$$\begin{equation*} (-X)=c (-T) \tag{19.2 - 37}\end{equation*}$$

假设这束光在实世界的起点是$P_1 \ \left(x_1,y_1\right)$,终点是$P_2 \ \left(x_2,y_1\right)$.参考系仅仅考虑x维度和y维度,实世界这束光的向量是$(X,0)$,虚世界这束光的向量是$(-X,0)$.

图91  一束光分别在实世界和虚世界中的起点、终点和时间的图示

Figure 91  Graphical representation of the start, end and time of a beam of light in the real world and imaginary world respectively

根据坐标与向量的关系易得

$$\begin{equation*} \left(x_1,y_1\right)+(X,0)=\left(x_2,y_1\right) \tag{19.2 - 38}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*} \left(x_2,y_1\right)+(-X,0)=\left(x_1,y_1\right) \tag{19.2 - 39}\end{equation*}$$

变换可得

$$\begin{equation*} P_1+(c T,0)=P_2 \tag{19.2 - 40}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*} P_2+(c (-T),0)=P_1 \tag{19.2 - 41}\end{equation*}$$

一束光在实世界的起点在虚世界是终点,一束光在实世界的终点在虚世界是起点.进而得出,如果实世界的时间是正向流动,那么虚世界的时间是逆向流动.以我们观测到现实世界的时间为基准,那么虚世界存在时间倒流.

我们观测一束光的时间向量和空间向量,得出二者在实世界存在一个不变的线性关系,并且得出因为起点导致了终点,得出一个因果关系.站在时间复数维度和空间复数维度的角度,这束光的空间向量和时间向量之间代数乘积等于0,并没有必然的联系,意味着因果关系和因果倒置都不存在,而是因果无关.我们在实世界得到的因果关系在虚世界就变成了因果倒置,因果关系只是我们在实世界观测到的一种局部现象.

实世界代表这个世界确定的部分,不同的粒子之间交互作用后达成共识的部分.虚世界代表这个世界不确定的部分,粒子没用通过与其他粒子交互作用而保留的自主的部分.宏观世界研究的对象内部包含大量的基本粒子交互作用,宏观世界带给我们的认知大都是实世界给我们带来的认知,可以近似认为宏观时间的时间是正向流动的.微观量子尺度研究的对象,在研究对象涉及基本粒子的时候,当因为粒子不确定部分带来的现象与我们的认知中的因果关系发生矛盾的时候,可以考虑时间倒流和因果倒置产生的效应.宏观世界的时间是近似正向流动的,微观量子世界的时间是近似逆向流动的.

我们从宏观世界得出的时间概念和因果关系在宏观世界是久经考验的,确信无疑的,我们甚至可以称之为真理.不过进入微观量子世界,宏观世界的时间概念和因果关系并不适用,从这个意义上说宏观世界的时间概念和因果关系只是宏观世界给我们带来的一种错觉.

19.3 时间倒流在贝尔不等式中的验证

贝尔不等式(Bell inequality)也称为贝尔定理(Bell's theorem),由英国物理学家约翰·贝尔(John Stewart Bell)于1964年发表.

定域性原理(Principle of locality)认为一个特定物体,只能被它周围的力量影响.某一点的行动影响到另一点,需经由彼此之间的空间.根据狭义相对论,宇宙中所有物质和信息的运动与传播速度均无法超过光速.信息传递的速度不可能比光速更快.这个观点保持了事件之间的因果性,但排除了超距作用的可能.92

隐变量理论(Hidden-variable theory)是通过引入(可能不可观察的)假设实体来解释量子力学现象.阿尔伯特·爱因斯坦(Albert Einstein),约翰·贝尔(John Stewart Bell),路易·德布罗意(Louis de Broglie),美国物理学家戴维·玻姆(David Bohm)和英国物理学家巴西尔·海利(Basil J. Hiley)都为该领域做出贡献.阿尔伯特·爱因斯坦曾说,我相信上帝不掷骰子.(I, at any rate, am convinced that He is not playing at dice.)[56]

贝尔不等式是由量子力学与隐变量理论结合后,对纠缠的粒子对的测量结果产生一个不等式约束.围绕贝尔不等式的一系列实验显示,实验结果与贝尔不等式相矛盾,进而证明任何形式的隐变量理论是错误的,量子纠缠中隐变量不存在,量子纠缠的信息传递速度是超过光速,违背了定域性原理.

贝尔不等式有多个变体,这里只研究约翰·贝尔提出的原始贝尔不等式.贝尔不等式的推导过程中,除了有隐变量的假设,还有隐含的时间正向流动的假设.量子纠缠属于基本粒子不确定的部分,前面提到虚世界是世界不确定部分组成的,虚世界的时间是倒流的.在时间倒流的情况下,贝尔不等式应该会有不同的结果.如果时间倒流得出的新的贝尔不等式与相关物理实验符合,那不但可以证明隐变量理论的正确,还可以证明时间倒流的正确.

参考[57] [58],重现贝尔不等式的推导过程.

两个自旋为1/2的粒子构成总自旋量子数$m_s=0$的单态(Singlet State).$S_{x1}^{L}$是第一个粒子的自旋角动量在矢量$x1$方向的分量,$S_{x2}^{R}$是第二个粒子的自旋角动量在矢量$x2$方向的分量,$\theta$是矢量$x1$和矢量$x2$的夹角.$\lambda$是决定测量结果的隐变量,存在函数$A [ x,\lambda ]$,它给出第一个粒子在矢量$x$方向的测量结果,存在函数$B [ x,\lambda ]$,它给出第二个粒子在矢量$x$方向的测量结果.$\rho [ \lambda ]$是隐变量的概率密度函数,影响$S_{x1}^{L}$与$S_{x2}^{R}$乘积的平均值.

根据量子力学相关定理可以得到$S_{x1}^{L}$与$S_{x2}^{R}$乘积的平均值满足关系式

$$\begin{equation*} \left\langle S_{x1}^{L} S_{x2}^{R}\right\rangle =-\frac{1}{4} \hbar ^2 \cos [\theta ] \tag{19.3 - 1}\end{equation*}$$

调整自旋角动量物理单位,令

$$\begin{equation*} \frac{\hbar }{2}=1 \tag{19.3 - 2}\end{equation*}$$

代入上式可得

$$\begin{equation*} \left\langle S_{x1}^{L} S_{x2}^{R}\right\rangle =-\cos [\theta ] \tag{19.3 - 3}\end{equation*}$$

构造函数$P[{x1},{x2}]$

$$\begin{equation*} P[{x1},{x2}]=\left\langle S_{x1}^{L} S_{x2}^{R}\right\rangle \tag{19.3 - 4}\end{equation*}$$

可得

$$\begin{equation*} P[x1,x2]=-\cos [\theta ] \tag{19.3 - 5}\end{equation*}$$

第一个粒子测量结果的取值范围

$$\begin{equation*} A [ x,\lambda ] \in \{1,-1\} \tag{19.3 - 6}\end{equation*}$$

第二个粒子测量结果的取值范围

$$\begin{equation*} B [ x,\lambda ] \in \{1,-1\} \tag{19.3 - 7}\end{equation*}$$

两个粒子的测量结果满足总自旋量子数等于0

$$\begin{equation*} A [ x,\lambda ]+B [ x,\lambda ]=0 \tag{19.3 - 8}\end{equation*}$$

变换可得

$$\begin{equation*} B [ x,\lambda ]=-A [ x,\lambda ] \tag{19.3 - 9}\end{equation*}$$

根据隐变量的概率密度函数定义可得

$$\begin{equation*} P [ x1,x2 ]=\int \rho [ \lambda ] A [ x1,\lambda ] B [ x2,\lambda ] \mathrm {d}\lambda \tag{19.3 - 10}\end{equation*}$$

概率密度函数满足归一化条件

$$\begin{equation*} \int \rho [ \lambda ] \mathrm {d}\lambda = 1 \tag{19.3 - 11}\end{equation*}$$

应用19.3 - 9式,可以使得第二个粒子的测量结果用第一个粒子的测量结果来递归表示

$$\begin{equation*} B [ x2,\lambda ]=-A [ x2,\lambda ] \tag{19.3 - 12}\end{equation*}$$

上式代入19.3 - 10式,可得

$$\begin{equation*} P [ x1,x2 ]=-\int \rho [ \lambda ] A [ x1,\lambda ] A [ x2,\lambda ] \mathrm {d}\lambda \tag{19.3 - 13}\end{equation*}$$

选取三个方向的矢量$a$、$b$和$c$,两两一组分别代入上式可得

$$\begin{equation*} P [ a,b ]=-\int \rho [ \lambda ] A [ a,\lambda ] A [ b,\lambda ] \mathrm {d}\lambda \tag{19.3 - 14}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*} P [ a,c ]=-\int \rho [ \lambda ] A [ a,\lambda ] A [ c,\lambda ] \mathrm {d}\lambda \tag{19.3 - 15}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*} P [ b,c ]=-\int \rho [ \lambda ] A [ b,\lambda ] A [ c,\lambda ] \mathrm {d}\lambda \tag{19.3 - 16}\end{equation*}$$

19.3 - 14式与19.3 - 15式相减可得

$$\begin{equation*} P [ a,b ]-P [ a,c ]=-\int \rho [ \lambda ] (A [ a,\lambda ] A [ b,\lambda ]-A [ a,\lambda ] A [ c,\lambda ]) \mathrm {d}\lambda \tag{19.3 - 17}\end{equation*}$$

应用19.3 - 6式可得

$$\begin{equation*} A [ b,\lambda ] \in \{1,-1\} \tag{19.3 - 18}\end{equation*}$$

$A [ b,\lambda ]$的平方等于1

$$\begin{equation*} A [ b,\lambda ]^2=1 \tag{19.3 - 19}\end{equation*}$$

上式代入19.3 - 17式

$$\begin{equation*} P [ a,b ]-P [ a,c ]=-\int \rho [ \lambda ] \left(A [ a,\lambda ] A [ b,\lambda ]-A [ a,\lambda ] A [ b,\lambda ]^2 A [ c,\lambda ]\right) \mathrm {d}\lambda \tag{19.3 - 20}\end{equation*}$$

提取公因式

$$\begin{equation*} P [ a,b ]-P [ a,c ]=-\int \rho [ \lambda ] A [ a,\lambda ] A [ b,\lambda ] (1-A [ b,\lambda ] A [ c,\lambda ]) \mathrm {d}\lambda \tag{19.3 - 21}\end{equation*}$$

应用19.3 - 6式可得

$$\begin{equation*} 1-A [ b,\lambda ] A [ c,\lambda ]\geq 0 \tag{19.3 - 22}\end{equation*}$$

根据概率密度的定义得

$$\begin{equation*} \rho [ \lambda ]\geq 0 \tag{19.3 - 23}\end{equation*}$$

应用19.3 - 6式可得

$$\begin{equation*} -1 \leq A [ a,\lambda ] A [ b,\lambda ] \leq 1 \tag{19.3 - 24}\end{equation*}$$

对$A [ a,\lambda ] A [ b,\lambda ]$展开分类讨论,先考虑大于等于0的情况

$$\begin{equation*} 0 \leq A [ a,\lambda ] A [ b,\lambda ] \leq 1 \tag{19.3 - 25}\end{equation*}$$

由19.3 - 22、19.3 - 23、19.3 - 25式得到不等式

$$\begin{equation*} 0 \leq \rho [ \lambda ] A [ a,\lambda ] A [ b,\lambda ] (1-A [ b,\lambda ] A [ c,\lambda ]) \leq \rho [ \lambda ] (1-A [ b,\lambda ] A [ c,\lambda ]) \tag{19.3 - 26}\end{equation*}$$

应用到积分后的不等式

$$\begin{equation*} 0 \leq \int \rho [ \lambda ] A [ a,\lambda ] A [ b,\lambda ] (1-A [ b,\lambda ] A [ c,\lambda ]) \mathrm {d}\lambda \leq\int \rho [ \lambda ] (1-A [ b,\lambda ] A [ c,\lambda ]) \mathrm {d}\lambda \tag{19.3 - 27}\end{equation*}$$

增加负号后不等式方向改变

$$\begin{equation*} -\int \rho [ \lambda ] (1-A [ b,\lambda ] A [ c,\lambda ]) \mathrm {d}\lambda \leq -\int \rho [ \lambda ] A [ a,\lambda ] A [ b,\lambda ] (1-A [ b,\lambda ] A [ c,\lambda ]) \mathrm {d}\lambda \leq 0 \tag{19.3 - 28}\end{equation*}$$

变换可得

$$\begin{equation*} -\int \rho [ \lambda ] \mathrm {d}\lambda - (-\int \rho [ \lambda ] (A [ b,\lambda ] A [ c,\lambda ]) \mathrm {d}\lambda )\leq -\int \rho [ \lambda ] A [ a,\lambda ] A [ b,\lambda ] (1-A [ b,\lambda ] A [ c,\lambda ]) \mathrm {d}\lambda \leq 0 \tag{19.3 - 29}\end{equation*}$$

上式代入19.3 - 16、19.3 - 21、19.3 - 25式可得

$$\begin{equation*} -1 - P [ b,c ] \leq P [ a,b ]-P [ a,c ] \leq 0 \tag{19.3 - 30}\end{equation*}$$

考虑$A [ a,\lambda ] A [ b,\lambda ]$小于0的情况

$$\begin{equation*} -1 \leq A [ a,\lambda ] A [ b,\lambda ] < 0 \tag{19.3 - 31}\end{equation*}$$

增加负号后不等式方向改变

$$\begin{equation*} 0 <- A [ a,\lambda ] A [ b,\lambda ] \leq 1 \tag{19.3 - 32}\end{equation*}$$

由19.3 - 22、19.3 - 23、19.3 - 32式得到不等式

$$\begin{equation*} 0 <-\rho [ \lambda ] A [ a,\lambda ] A [ b,\lambda ] (1-A [ b,\lambda ] A [ c,\lambda ]) \leq \rho [ \lambda ] (1-A [ b,\lambda ] A [ c,\lambda ]) \tag{19.3 - 33}\end{equation*}$$

应用到积分后的不等式

$$\begin{equation*} 0 < \int (-1)\rho [ \lambda ] A [ a,\lambda ] A [ b,\lambda ] (1-A [ b,\lambda ] A [ c,\lambda ]) \mathrm {d}\lambda \leq\int \rho [ \lambda ] (1-A [ b,\lambda ] A [ c,\lambda ]) \mathrm {d}\lambda \tag{19.3 - 34}\end{equation*}$$

负号提取到积分外部

$$\begin{equation*} 0 < -\int \rho [ \lambda ] A [ a,\lambda ] A [ b,\lambda ] (1-A [ b,\lambda ] A [ c,\lambda ]) \mathrm {d}\lambda \leq \int \rho [ \lambda ] (1-A [ b,\lambda ] A [ c,\lambda ]) \mathrm {d}\lambda \tag{19.3 - 35}\end{equation*}$$

变换可得

$$\begin{equation*} 0 < -\int \rho [ \lambda ] A [ a,\lambda ] A [ b,\lambda ] (1-A [ b,\lambda ] A [ c,\lambda ]) \mathrm {d}\lambda \leq \int \rho [ \lambda ] \mathrm {d}\lambda + (-\int \rho [ \lambda ] (A [ b,\lambda ] A [ c,\lambda ]) \mathrm {d}\lambda ) \tag{19.3 - 36}\end{equation*}$$

上式代入19.3 - 16、19.3 - 21、19.3 - 25式可得

$$\begin{equation*} 0 < P [ a,b ]-P [ a,c ] \leq 1 + P [ b,c ] \tag{19.3 - 37}\end{equation*}$$

联合19.3 - 30、19.3 - 38式可得

$$\begin{equation*} | P [ a,b ]-P [ a,c ]| \leq 1 + P [ b,c ] \tag{19.3 - 38}\end{equation*}$$

以上,重现了贝尔不等式的推导过程,这个推导过程隐含了时间正向流动的假设,这个假设我们认为理所当然的,甚至不认为这是一个假设.

下面的示意图分别展示了时间正向流动和时间逆向流动情况下,隐变量、隐变量概率密度函数、两个粒子测量结果、粒子测量的矢量与时间的位置关系.

图92  时间正向流动情况下,隐变量、隐变量概率密度函数、两个粒子测量结果、粒子测量的矢量

Figure 92  Hidden variables, hidden variable probability density function, two particle measurements, vector of particle measurements in the case of positive time flow

图93  时间逆向流动情况下,隐变量、隐变量概率密度函数、两个粒子测量结果、粒子测量的矢量

Figure 93  Hidden variables, hidden variable probability density functions, two particle measurements, vectors of particle measurements in the case of reverse time flow

在时间正向流动的情况下,隐变量$\lambda$先产生,隐变量的产生伴随着隐变量概率密度函数$\rho$的产生,因为粒子测量的矢量$x1$和$x2$产生时间在隐变量之后,在纠缠的粒子对分开之后,根据决定论(Determinism)和因果关系(Causality),后发生的事件不会影响先发生的事件.因此我们认为隐变量概率密度函数$\rho$与粒子测量的矢量$x1$和$x2$无关.类似的,我们认为两个粒子测量结果$A$和$B$与隐变量有关,与粒子测量的矢量$x1$和$x2$也相关.

在时间倒流的情况下,原有的先后顺序发生颠倒,粒子测量的矢量$x1$和$x2$先发生,隐变量$\lambda$后发生.把$\rho$、$A$和$B$看做函数,在时间倒流的情况下,函数的参数会发生变化.

下面开始,在时间倒流的情况下推导贝尔不等式.

在时间倒流的情况下,$\rho$、$A$和$B$变换得到

$$\begin{equation*} \{\rho [ \lambda ]\to \rho [ \lambda ,x1,x2 ],A [ x,\lambda ]\to A [ x ],B [ x,\lambda ]\to B [ x ]\} \tag{19.3 - 39}\end{equation*}$$

由19.3 - 13、19.3 - 39式得到

$$\begin{equation*} P [ x1,x2 ]=-\int \rho [ \lambda ,x1,x2 ] A [ x1 ] A [ x2 ] \mathrm {d}\lambda \tag{19.3 - 40}\end{equation*}$$

把19.3 - 5式代入上式

$$\begin{equation*} -\cos [ \theta ]=-\int \rho [ \lambda ,x1,x2 ] A [ x1 ] A [ x2 ] \mathrm {d}\lambda \tag{19.3 - 41}\end{equation*}$$

恒等变换得

$$\begin{equation*} \int \rho [ \lambda ,x1,x2 ] \mathrm {d}\lambda =\frac{\cos [ \theta ]}{A [ x1 ] A [ x2 ]} \tag{19.3 - 42}\end{equation*}$$

选取三个方向的矢量$a$、$b$和$c$,两两一组分别代入上式可得

$$\begin{equation*} \int \rho [ \lambda ,a,b ] \mathrm {d}\lambda =\frac{\cos [ \theta_{ab} ]}{A [ a ] A [ b ]} \tag{19.3 - 43}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*} \int \rho [ \lambda ,a,c ] \mathrm {d}\lambda =\frac{\cos [ \theta_{ac} ]}{A [ a ] A [ c ]} \tag{19.3 - 44}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*} \int \rho [ \lambda ,b,c ] \mathrm {d}\lambda =\frac{\cos [ \theta_{bc} ]}{A [ b ] A [ c ]} \tag{19.3 - 45}\end{equation*}$$

上面的三个等式中,$\theta_{ab}$表示$a$与$b$之间的夹角,其他以此类推.

把上面的三个等式与19.3 - 14、19.3 - 15、19.3 - 16式比较,发现在时间正向流动情况下贝尔不等式推导隐含了一个假设

$$\begin{equation*} \rho [ \lambda ,a,b ]=\rho [ \lambda ,a,c ]=\rho [ \lambda ,b,c ] \tag{19.3 - 46}\end{equation*}$$

同时找到了隐变量与粒子测量的矢量的夹角相关.另外,时间正向流动情况下贝尔不等式推导隐含了一个假设,三个夹角相等.

$$\begin{equation*} \theta_{ab}=\theta_{ac}=\theta_{bc}=\theta=\lambda \tag{19.3 - 47}\end{equation*}$$

为了确保夹角$\theta$存在唯一的值,约定

$$\begin{equation*} 0\leq \theta < {2 \pi } \tag{19.3 - 48}\end{equation*}$$

由19.3 - 47式得到三个向量两两之间的夹角等于恒定值$\theta$,可以得到$\theta$的范围,这里不做证明.

$$\begin{equation*} (0\leq \theta \leq \frac{2 \pi }{3}) \lor (\frac{4 \pi }{3}\leq \theta < 2 \pi) \tag{19.3 - 49}\end{equation*}$$

时间正向流动情况下贝尔不等式推导包含了两个条件,对隐变量概率密度的约束,概率归一化和概率密度大于等于0.

$$\begin{equation*} \{\int \rho [ \lambda ] \mathrm {d}\lambda =1,\rho [ \lambda ]\geq 0\} \tag{19.3 - 50}\end{equation*}$$

对上式应用19.3 - 39式得到

$$\begin{equation*} \{\int \rho [ \lambda ,x1,x2 ] \mathrm {d}\lambda =1,\rho [ \lambda ,x1,x2 ]\geq 0\} \tag{19.3 - 51}\end{equation*}$$

考虑19.3 - 42式

$$\begin{equation*} \int \rho [ \lambda ,x1,x2 ] \mathrm {d}\lambda=\frac{\cos [ \theta ]}{A [ x1 ] A [ x2 ]} \tag{19.3 - 42}\end{equation*}$$

把19.3 - 47式代入上式可得

$$\begin{equation*} \int \rho [ \theta ,x1,x2 ] \mathrm {d}\theta=\frac{\cos [ \theta ]}{A [ x1 ] A [ x2 ]} \tag{19.3 - 52}\end{equation*}$$

上式是一个积分等式,可以逆向得到微分等式

$$\begin{equation*} \rho [ \theta ,x1,x2 ] = \frac{\partial ( \displaystyle \frac{\cos [ \theta ]}{A [ x1 ] A [ x2 ]})}{\partial \theta } \tag{19.3 - 53}\end{equation*}$$

求导可得

$$\begin{equation*} \rho [ \theta ,x1,x2 ] = -\frac{\sin [ \theta ]}{A [ x1 ] A [ x2 ]} \tag{19.3 - 54}\end{equation*}$$

由19.3 - 42、19.3 - 47、19.3 - 51式可得

$$\begin{equation*} \frac{\cos [ \theta ]}{A [ x1 ] A [ x2 ]}=1 \tag{19.3 - 55}\end{equation*}$$

上式联合19.3 - 6式可得

$$\begin{equation*} (\cos [ \theta ]=1) \lor (\cos [ \theta ]=-1) \tag{19.3 - 56}\end{equation*}$$

考虑夹角$\theta$的约束条件

$$\begin{equation*} 0\leq \theta < 2 \pi \tag{19.3 - 48}\end{equation*}$$

得到由概率归一化条件产生的对于$\theta$的约束

$$\begin{equation*} (\theta =0)\lor (\theta =\pi) \tag{19.3 - 57}\end{equation*}$$

由19.3 - 47、19.3 - 51、19.3 - 54、19.3 - 55式可得

$$\begin{equation*} \rho [ \theta ,x1,x2 ]=-\tan [ \theta ]\geq 0 \tag{19.3 - 58}\end{equation*}$$

变换可得

$$\begin{equation*} \tan [ \theta ]\leq 0 \tag{19.3 - 59}\end{equation*}$$

上式联合19.3 - 48式,可得

$$\begin{equation*} (\theta =0)\lor (\frac{\pi }{2}<\theta \leq \pi) \lor (\frac{3 \pi }{2}<\theta <2 \pi) \tag{19.3 - 60}\end{equation*}$$

现在一共得到三组关于$\theta$的约束条件

第1组,三个向量两两之间的夹角等于恒定值$\theta$产生的约束条件

$$\begin{equation*} (0\leq \theta \leq \frac{2 \pi }{3}) \lor (\frac{4 \pi }{3}\leq \theta < 2 \pi) \tag{19.3 - 49}\end{equation*}$$

第2组,概率归一化条件产生的约束条件

$$\begin{equation*} (\theta =0)\lor (\theta =\pi) \tag{19.3 - 57}\end{equation*}$$

第3组,概率归一化和概率密度大于等于0产生的约束条件

$$\begin{equation*} (\theta =0)\lor (\frac{\pi }{2}<\theta \leq \pi) \lor (\frac{3 \pi }{2}<\theta <2 \pi) \tag{19.3 - 60}\end{equation*}$$

三个约束条件同时成立,三个约束条件求交集得到

$$\begin{equation*} \theta=0 \tag{19.3 - 61}\end{equation*}$$

这意味着三个方向的矢量$a$、$b$和$c$重合,是同一个矢量.

$$\begin{equation*} a=b=c \tag{19.3 - 62}\end{equation*}$$

由19.3 - 5、19.3 - 61、19.3 - 62式可得

$$\begin{equation*} P [ a,b ]=P [ a,c ]=P [ a,c ]=P [ a,a ]=-\cos [ 0 ]=-1 \tag{19.3 - 63}\end{equation*}$$

由19.3 - 42式可得

$$\begin{equation*} \left\{\int \rho [ \lambda ,a,b ] \mathrm {d}\lambda=\frac{\cos [ \theta ]}{A [ a ] A [ b ]},\int \rho [ \lambda ,a,c ] \mathrm {d}\lambda=\frac{\cos [ \theta ]}{A [ a ] A [ c ]},\int \rho [ \lambda ,b,c ] \mathrm {d}\lambda=\frac{\cos [ \theta ]}{A [ b ] A [ c ]}\right\} \tag{19.3 - 64}\end{equation*}$$

把19.3 - 51、19.3 - 61式代入上式可得

$$\begin{equation*} \left\{1=\frac{1}{A [ a ] A [ b ]},1=\frac{1}{A [ a ] A [ c ]},1=\frac{1}{A [ b ] A [ c ]}\right\} \tag{19.3 - 65}\end{equation*}$$

应用19.3 - 6式可得

$$\begin{equation*} \left( A [ a ] \in \{1,-1\} \right) \wedge \left( A [ b ] \in \{1,-1\} \right) \wedge \left( A [ c ] \in \{1,-1\} \right) \tag{19.3 - 66}\end{equation*}$$

由19.3 - 65、19.3 - 66式可得

$$\begin{equation*} \left(A [ a ]=A [ b ]=A [ c ]=-1 \right)\vee \left( A [ a ]=A [ b ]=A [ c ]=1 \right) \tag{19.3 - 67}\end{equation*}$$

把19.3 - 63式分别代入贝尔不等式的左边和右边

$$\begin{equation*} | P [ a,b ]-P [ a,c ]| = | (-1)- (-1)|=0 \tag{19.3 - 68}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*} 1 + P [ b,c ]=1 + (-1) =0 \tag{19.3 - 69}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*} 0 \leq 0 \tag{19.3 - 70}\end{equation*}$$

联合前面三个式子,得到贝尔不等式

$$\begin{equation*} | P [ a,b ]-P [ a,c ]| \leq 1 + P [ b,c ] \tag{19.3 - 71}\end{equation*}$$

隐变量的概率密度函数$\rho$,两个粒子测量结果$A$和$B$在时间正向流动和时间逆向流动两种情况下的对应关系

$$\begin{equation*} \{\rho [ \lambda ]\longleftrightarrow \rho [ \lambda ,x1,x2 ],A [ x,\lambda ]\longleftrightarrow A [ x ],B [ x,\lambda ]\longleftrightarrow B [ x ]\} \tag{19.3 - 72}\end{equation*}$$

时间正向流动情况下,隐变量的概率密度函数约束关系

$$\begin{equation*} 时间正向流动\ \ \Rightarrow \ \ \{\int \rho [ \lambda ] \mathrm {d}\lambda =1,\rho [ \lambda ]\geq 0,\rho [ \lambda ]=\rho [ \lambda ]=\rho [ \lambda ]\} \tag{19.3 - 73}\end{equation*}$$

上式最后一个约束关系,其中的三个$\rho [ \lambda ]$出现在三个不同的等式中,分别是19.3 - 14、19.3 - 15、19.3 - 16式.

时间逆向流动情况下,隐变量的概率密度函数约束关系

$$\begin{equation*} 时间逆向流动\ \ \Rightarrow \ \ \{\int \rho [ \lambda ,x1,x2 ] \mathrm {d}\lambda =1,\rho [ \lambda ,x1,x2 ]\geq 0,\rho [ \lambda ,a,b ]=\rho [ \lambda ,a,c ]=\rho [ \lambda ,b,c ]\} \tag{19.3 - 74}\end{equation*}$$

时间正向流动情况下的隐变量的概率密度函数约束关系可以推导出贝尔不等式

$$\begin{equation*} \{\int \rho [ \lambda ] \mathrm {d}\lambda =1,\rho [ \lambda ]\geq 0,\rho [ \lambda ]=\rho [ \lambda ]=\rho [ \lambda ]\} \ \ \Rightarrow \ \ | P [ a,b ]-P [ a,c ]| \leq 1 + P [ b,c ] \tag{19.3 - 75}\end{equation*}$$

时间逆向流动情况下的隐变量的概率密度函数约束关系也可以推导出贝尔不等式

$$\begin{equation*}\begin{aligned} &\{\int \rho [ \lambda ,x1,x2 ] \mathrm {d}\lambda =1,\rho [ \lambda ,x1,x2 ]\geq 0,\rho [ \lambda ,a,b ]=\rho [ \lambda ,a,c ]=\rho [ \lambda ,b,c ]\}\\ & \ \ \Rightarrow \ \ | P [ a,b ]-P [ a,c ]| \leq 1 + P [ b,c ] \end{aligned}\tag{19.3 - 76}\end{equation*}$$

化简可得

$$\begin{equation*} 时间正向流动\ \ \Rightarrow \ \ | P [ a,b ]-P [ a,c ]| \leq 1 + P [ b,c ] \tag{19.3 - 77}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*} 时间逆向流动\ \ \Rightarrow \ \ | P [ a,b ]-P [ a,c ]| \leq 1 + P [ b,c ] \tag{19.3 - 78}\end{equation*}$$

以上推理使用了三段论

$$\begin{equation*} ((P1 \Rightarrow P2)\land(P2 \Rightarrow P3)) \Rightarrow(P1 \Rightarrow P3) \tag{19.3 - 79}\end{equation*}$$

当向量$a$、$b$、$c$在同一个平面时,贝尔不等式变为:

$$\begin{equation*} \left| \cos [\theta _1]-\cos [\theta _2]\right| \leq 1-\cos [\theta _1-\theta _2] \tag{19.3 - 80}\end{equation*}$$

上式中,$\theta _1$是$a$与$b$的夹角,$\theta _2$是$a$与$c$的夹角.使用球坐标系化简就可以得到上面的结果,这里不做证明.

把上面的不等式在平面上绘制图形,不等式成立的区域使用灰色表示,不等式不成立的区域使用白色表示.

图94  19.3 - 80式的图像

Figure 94  Image of Formula 19.3 - 80

观察图形可以发现,不考虑隐变量因素的情况下,不限制向量$a$、$b$、$c$的夹角,贝尔不等式在量子力学中有时候成立,有时候不成立.

在同样的隐变量的概率密度函数约束关系条件下,在时间正向流动和时间逆向流动两种情况下,得出的对矢量$a$、$b$和$c$之间的约束并不相同:

时间正向流动情况下,对矢量$a$、$b$和$c$并没有任何限制条件.

时间逆向流动情况下,对矢量$a$、$b$和$c$有约束条件,要求三个矢量重合,两两之间的夹角等于0.

通过理论预测和相关实验,可以得到:

时间正向流动情况下,贝尔不等式有时候成立,有时候不成立.

时间逆向流动情况下,贝尔不等式恒成立.

命题的真假有以下两个原则:

命题的子集存在真,这个命题为真.这个原则舍弃,因为会导致真假值的叠加态.

命题的任意子集没有假,且命题不是空集,命题的子集存在真,这个命题为真.采用这个原则.

假设存在隐变量为真.

在时间正向流动的前提下再加一些隐变量约束条件,得出的贝尔不等式有时候成立,有时候不成立,那么此时的贝尔不等式为假,所以量子纠缠与时间正向流动相关为假.

$$\begin{equation*} (A \wedge T = A) \wedge(A \wedge T = F) \Rightarrow A = F \tag{19.3 - 81}\end{equation*}$$

在时间逆向流动的前提下再加一些隐变量约束条件,得出的贝尔不等式恒成立,那么此时的贝尔不等式为真,所以量子纠缠与时间逆向流动相关为真.

$$\begin{equation*} (B \wedge T = B) \wedge(B \wedge T = T) \Rightarrow B = T \tag{19.3 - 82}\end{equation*}$$

上面的推理隐含了隐变量约束条件为真的条件,这个条件可以从下面的公式中得到,这里忽略了量子纠缠与时间无关的情况.

$$\begin{equation*}\begin{aligned} (A \wedge T = A)&\wedge(A \wedge F = F)\wedge(\neg A \wedge T = \neg A)\wedge(\neg A \wedge F = F)\\ &\wedge(A \wedge Q = F)\wedge(\neg A \wedge Q = T) \Rightarrow Q = T\end{aligned} \tag{19.3 - 83}\end{equation*}$$

因为量子纠缠与时间正向流动相关为假,所以量子纠缠与时间逆向流动相关或者量子纠缠与时间无关为真.(德摩根定律)

$$\begin{equation*} (\neg F = T) \wedge (A = F) \Rightarrow \neg A = T \tag{19.3 - 84}\end{equation*}$$

$$\begin{equation*} (\neg (\neg B \wedge \neg C) = B \vee C)\wedge(\neg A= (\neg B \wedge \neg C))\wedge(\neg A = T) \Rightarrow B \vee C = T \tag{19.3 - 85}\end{equation*}$$

因为量子纠缠与时间逆向流动相关为真,量子纠缠与时间逆向流动相关或者量子纠缠与时间无关为真,所以量子纠缠与时间逆向流动相关为真.(吸收律)

$$\begin{equation*} (B = T)\wedge(B \vee C = T)\wedge(T \wedge T = T)\wedge(B \wedge (B \vee C) = B)\Rightarrow B=T \tag{19.3 - 86}\end{equation*}$$

另外,量子纠缠可以找到隐变量,这个隐变量就是矢量$a$、$b$和$c$之间的夹角,隐变量不止一个是三个.因为这三个夹角是可以测量的,隐变量将不再是隐形的不可观察的,而是可见的.

假设存在隐变量为假.

这种情况下,无论隐变量约束条件是否真假,存在隐变量与前者组合成的复合命题一定为假.

$$\begin{equation*} P = Q \wedge F = F \tag{19.3 - 87}\end{equation*}$$

在时间逆向流动的前提下再加一些隐变量约束条件,得出的贝尔不等式恒成立,那么此时的贝尔不等式为真,得出隐变量约束条件和存在隐变量组成的复合命题为真.

$$\begin{equation*} (B \wedge T = B) \wedge(B \wedge F = F) \wedge(B \wedge P = T) \Rightarrow P = T \tag{19.3 - 88}\end{equation*}$$

根据排中律,一个命题不可能既是真又是假.

$$\begin{equation*} P \wedge \neg P = F \tag{19.3 - 89}\end{equation*}$$

所以假设不成立,存在隐变量为假不成立,那么存在隐变量为真.(反证法)

19.4 使用时间倒流解释双缝干涉和量子纠缠

惠勒延迟选择实验(Wheeler's delayed choice experiment)是美国理论物理学家约翰·惠勒(John Wheeler)在1978年提出的一个思想实验[59],属于双缝实验(Double-slit experiment)的一种变形.

图95  惠勒延迟选择实验的图示

Figure 95  Diagram of Wheeler's delayed choice experiment

如上图所示,A和D点放置分光镜,分光镜有50%的概率折射光线,50%的概率反射光线.B和C点放置的是反光镜.调整BD和CD的距离,D后面沿着BD方向的两束光相位相反,波峰与波谷叠加后光线消失,D后面沿着CD方向的两束光相位相同,叠加后光线增强.入射光线限制一个光子一个光子地发射.在D点始终不放置分光镜条件下,光子穿过D点后要么在BD方向观测到,要么在CD方向观测到,不会在两个方向同时观测到.在光子穿过A点之前,D点不放置分光镜,在光子穿过A点后快要到达D点之前,在D点放置分光镜,这个条件下只有在CD的方向观测到光子.实验显示光子在第2种实验条件下,光子有两个分身,两个分身分别经过ABD和ACD,并在C点自身与自身干涉.同时显示,未来的事件会决定过去的事件,D点是否放置分光镜决定了A点的光子是否分叉.

实在论(Realism)是一种观点,事物本身独立于思想而存在,即使事物没有被观测者观察到,它仍然存在.就像即使没有人赏月,月亮也依旧存在.

在时间只有正向流动的前提下,惠勒延迟选择实验结果显示光子的行为违反了实在论和因果关系,出现了多重分身和因果倒置.

下面给出光子的一种可能的路径.A点光子创造第1个分身,第1个分身通过ABD到达D点,D点的约束条件在虚世界沿着DBA时间倒流回去到达A点,A点光子得知D点的约束条件后创造第2个分身通过ACD到达D点.两个光子的分身在D点合并产生波函数坍缩,变成实世界的一个实体,最后沿着BD方向发射出去.

多重分身是因为时间倒流,因果倒置是因为结果通过时间倒流与原因产生信息交互.虚世界的多重分身干涉后,导致波函数坍缩,并与实世界的实体建立联系,实在论与量子纠缠之间并不存在矛盾.

量子纠缠(Quantum entanglement)是一种量子力学现象,当一组粒子生成、相互作用或空间上靠近时,每个粒子的量子态不再能够独立描述,即使它们在空间上相隔很远.93量子纠缠首先由阿尔伯特·爱因斯坦(Albert Einstein)、美国物理学家鲍里斯·波多尔斯基(Boris Podolsky)和美国物理学家纳森·罗森(Nathan Rosen)于1935年发表的EPR佯谬(Einstein-Podolsky-Rosen paradox)提出.[60]1957年,戴维·玻姆(David Bohm)和他的学生以色列物理学家亚基尔·阿哈罗诺夫(Yakir Aharonov)发表了EPR佯谬的新版本,使用自旋重新表述得到一个简化版的EPR佯谬.[61]

图96  量子纠缠的图示

Figure 96  Diagram of quantum entanglement

前面的贝尔不等式提到的两个纠缠的粒子对如上图所示,两个粒子在O点分开,第1个粒子向A点运动,第2个粒子向B点运动.

下面给出量子纠缠的一种可能的路径.两个粒子的测量值都使用同一个矢量$a$.第1个粒子在A点被测量,测量值是-1,A点在被测量的瞬间发生时间倒流,回到O点.同时第二个粒子也在不断发生时间倒流,回到O点.在O点,第1个把信息传递给第2个粒子,第2个粒子在接收到信息后,在B点被测量,测量值是1.

在没有时间倒流的情况下,量子纠缠之间的信息传递速度超过光速,爱因斯坦称之为鬼魅般的超距作用(spooky actions at a distance)[62],违反定域性原理.在存在时间倒流的情况下,量子纠缠之间的信息传递速度不会超过光速,量子纠缠之间的信息传递速度等于两个纠缠粒子的分开的速度,这个速度在时间倒流中产生.

19.2 - 41、19.2 - 42式,除了可以得出量子力学不确定部分的时间倒流,而且并没有阻止存在无穷多次时间倒流,既然可以存在无穷次时间倒流,那么时间起点的改变,会导致时间正向流动也会存在无穷多条.

前面两个例子,在无穷多条时间线中抽取的包含关键信息的连续时间线,可以称为追踪时(Tracked timeline).这意味着除了我们从宏观世界感受到的时间,还存在一条我们无法直接感受到的时间线,这个时间线叫追踪时,追踪时可以改变我们的历史,不过能改变的历史是不确定的历史,比如惠勒延迟选择实验中光子的分叉.

基本粒子在无穷多个时间线上,产生了概率波(Wave Function with Probability Amplitude).双缝干涉中的干涉条纹,是由一个粒子2个时间线上的分身互相干涉坍缩后产生的.原子中的电子因为某种类似N体问题(n-body problem)的机制产生的蝴蝶效应(Butterfly effect),形成路径遍历,形成电子云(Electron cloud).当其中一个路径满足量子化能量条件时,这个路径上的2个时间线上的分身互相干涉坍缩,产生量子跃迁(Quantum jump).

美国理论物理学家理查德·费曼(Richard Feynman)从1948年开始发展出路径积分表述(Path integral formulation),它通过计算两点间所有可能的随机游走的路径的总和或泛函积分而得到概率幅.94 [63] [64]通过路径积分,虚世界的路径遍历与实世界的概率幅建立了联系的桥梁.

19.5 在时间的虚数维度上存在时间倒流,费马原理和波函数的虚部提供了佐证

费马原理(Fermat's principle)最早由法国科学家皮埃尔·德·费马(Pierre de Fermat)在1662年提出.95

费马原理的原始表述:一束光在两点之间实际走的路程是以最短的时间通过的那条路程.

费马原理的现代表述:光线从S点到P点走的光程长度,相对于路程变化必须是平稳的.这句话的实质意义是,光程长度与x的关系曲线,在斜率趋于零的附近有一比较平坦的区域.斜率为零的点对应于实际的光程.换句话说,真实轨道的光程长度,在一级近似下,等于与它紧邻的路径的光程长度.斜率为零的点具有极大值,极小值,或切线为水平的拐点.[65]

光程等于折射率和光的传播路径长度的乘积,相当于同样的时间内光在真空中的传播路径的长度.可以把费马原理的现代表述中的光程替换为时间.

$$\begin{equation*} \mathrm {OPL} =ns={\frac {c}{v}}s=ct \tag{19.5 - 1}\end{equation*}$$

下面列举光线传播对于路径选择的三种情况.

光线从空气进入正折射率的透明材料,光线向前折射;光线从空气进入负折射率的透明材料,光线向后折射.可以根据费马原理推导出光线从空气进入正折射率的透明材料的折射定律,也可以根据费马原理推导出光线从空气进入负折射率的透明材料的折射定律.折射定律也称为斯涅尔定律(Snell's Law),斯涅尔定律是因荷兰物理学家威理博·斯涅尔(Willebrord Snellius)而命名.96不同的是,负折射率的透明材料中光线的相速度和空气中的相速度方向相反[66],那么负折射率的透明材料中光线传播时间是负数.

可以看到,光线在传播过程中,会对所有可能的路径进行选择,选择的过程是不同路径的时间作为竞争的指标,选择的结果是时间相对于空间的导数等于0的路径.选择的结果可以是最大值,最小值,中间值.

如果时间只存在一个维度,因为时间的欧式距离的关系,必然导致选择结果只有最小值.然而事实告诉我们,光的路径选择对于不同时间长度的路径是平权的.

那么时间只存在一个维度为假,时间存在2个或2个以上维度为真.光的选择路径依赖于其他的时间维度.我们看到的时间维度上面的时间向量和其他的时间维度上面的时间向量存在某种映射关系.

因为光的路径选择对于不同时间长度的路径是平权的,所以这个其他的时间维度与我们看到的时间维度是不相关,没有线性关系,这个时间维度与我们看到的时间维度垂直.

前面提到,存在时间的虚数维度.并且,时间的虚数维度上的时间向量,与时间的实数维度上的时间向量,二者方向相反,绝对值相等.时间的实数维度和虚数维度垂直.这些特征,刚好满足上面的条件.

对波函数$A e^ {i (k x-\omega t )}$使用三角函数展开

$$\begin{equation*} A e^ {i (k x-\omega t )}=A \cos [k x-\omega t ]+A \sin [k x-\omega t ] i \tag{19.5 - 2}\end{equation*}$$

在研究电路或者波动学的时候,我们常常把一个简谐波函数转换为复数指数形式,利用复数指数函数更为便捷的运算,最后取实部,得到我们想要的结果.在这个过程中,虚部被丢弃了.

复数指数函数相对于其实部的余弦函数,数学上更为简洁.假如最小作用量原理对于波函数的复杂度成立的话,我们有理由相信复数指数函数更为真实,复数指数函数的虚数部分是真实存在的.

在薛定谔方程的推导过程中,使用的波函数就是复数指数函数.薛定谔方程在量子力学取得巨大的成功,这进一步增强复数指数函数的虚数部分是真实存在的可信度.

前面使用时空无关特性推导出带负号的时间虚数维度系数,得出存在两个世界,实世界和虚世界,实世界的时空坐标是$(X,Y,Z,T)$,虚世界的时空坐标是$(X i,Y i,Z i,-T i)$.

规定

$$\begin{equation*} T = - \mathcal{T} \tag{19.5 - 3}\end{equation*}$$

虚世界的时空坐标变成$(X i,Y i,Z i,\mathcal{T} i)$.

前面使用虚数维度的时间倒流解释了量子纠缠,但并未给基本粒子找出理论依据.

根据量子力学的相关原理,一切基本粒子都具有波粒二象性.一切粒子都是一个波函数.

进一步假设,一切粒子都是一个波函数,这个波函数包含实数部分和虚数部分.

假设,以波函数$A e^ {i (k x-\omega t )}$为例,这个波函数代表一个基本粒子,波函数的实数部分$A \cos [k x-\omega t ]$存在于实世界,波函数的虚数部分$A \sin [k x-\omega t ] i$存在于虚世界.

进一步变换可得

$$\begin{equation*} A e^ {i (k x-\omega t )}=A \cos [k x-\omega T ]+A \sin [k x+\omega \mathcal{T} ] i \tag{19.5 - 4}\end{equation*}$$

波函数在实世界部分的相速度

$$\begin{equation*} v_{p\_re} = \frac {\omega}{k} \tag{19.5 - 5}\end{equation*}$$

波函数在虚世界部分的相速度

$$\begin{equation*} v_{p\_im} = -\frac {\omega}{k} \tag{19.5 - 6}\end{equation*}$$

一个基本粒子在时间和空间的实数维度存在一个波,在时间和空间的虚数维度也存在一个波,这两个波分别称为实波和虚波.我们看到的时间轴是实时间轴,实波沿着实时间轴的方向传播,虚波的传播方向和实时间轴的方向相反.

实波和虚波并非简单的镜像关系,而是在数值上是正弦和余弦的关系.

简谐波函数的相速度和群速度相等,群速度用于传递能量和信息.这样的话,量子纠缠传递信息的实体找到了.

现实世界的基本粒子是一个波,这个波在时空的虚数维度中存在对应的虚波,虚波传播方向与时间方向相反,未来的粒子通过它的虚波穿越时间来到了现在,传递了未来的信息,改变了现在的现实,使得我们看到了量子纠缠.

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