18 狭义相对论和广义相对论领域的改进
18.1 暗物质天体的史瓦西解
设无穷远处物质微粒的引力势等于0,得到物质天体相对于物质微粒的引力势
$$\begin{equation*} V = -\frac {GM}{r} \tag{18.1 - 1}\end{equation*}$$
上式同样适用于物质天体相对于暗物质微粒的引力势,暗物质天体相对于物质微粒的引力势.
设无穷远处暗物质微粒的引力势等于0,得到暗物质天体相对于暗物质微粒的引力势
$$\begin{equation*} V = \frac {GM}{r} \tag{18.1 - 2}\end{equation*}$$
球状均匀静态的天体的史瓦西解(重力引力场)
$$\begin{equation*}{\mathrm {d}}s^{2}= - c^{2}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right){\mathrm {d}}t^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{-1}{\mathrm {d}}r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2} \sin [ \theta ] ^{2} \mathrm {d} \varphi ^{2} \tag{18.1 - 3}\end{equation*}$$
使用引力势作为参数,上面的史瓦西解变成
$$\begin{equation*}{\mathrm {d}}s^{2}= - c^{2}\left(1+{\frac {2V}{c^{2}}}\right){\mathrm {d}}t^{2}+\left(1+{\frac {2V}{c^{2}}}\right)^{-1}{\mathrm {d}}r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2} \sin [ \theta ] ^{2} \mathrm {d} \varphi ^{2} \tag{18.1 - 4}\end{equation*}$$
检查史瓦西解的推导过程[41] [42] [43],上式同样适用于暗物质天体相对于暗物质微粒.
代入引力势公式18.1 - 2,得到球状均匀静态的天体的史瓦西解(重力斥力场)
$$\begin{equation*}{\mathrm {d}}s^{2}= - c^{2}\left(1+{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right){\mathrm {d}}t^{2}+\left(1+{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{-1}{\mathrm {d}}r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2} \sin [ \theta ] ^{2} \mathrm {d} \varphi ^{2} \tag{18.1 - 5}\end{equation*}$$
平直均匀的闵可夫斯基时空的度规
$$\begin{equation*}{\mathrm {d}}s^{2}= - c^{2}{\mathrm {d}}{\tau}^{2}+{\mathrm {d}}r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2} \sin [ \theta ] ^{2} \mathrm {d} \varphi ^{2} \tag{18.1 - 6}\end{equation*}$$
在史瓦西坐标中,三维空间同一点,在不同时刻产生一系列不同的四维时空点,对这些连续的时空点取微分,得到
$$\begin{equation*}{\mathrm {d}}s^{2}= - c^{2}\left(1+{\frac {2V}{c^{2}}}\right){\mathrm {d}}t^{2}= - c^{2}{\mathrm {d}}{\tau}^{2} \tag{18.1 - 7}\end{equation*}$$
变换可得
$$\begin{equation*}{\mathrm {d}}{\tau}={\sqrt{1+\frac{2 V}{c^2}}{\mathrm {d}}t} \tag{18.1 - 8}\end{equation*}$$
上式中,${\mathrm {d}}{\tau}$ 固有时间微分,${\mathrm {d}}t$ 坐标时间微分
重力引力场固有时间与坐标时间的关系
$$\begin{equation*}{\mathrm {d}}{\tau}={\sqrt{1-\frac{2 G M}{c^2 r}}{\mathrm {d}}t} \tag{18.1 - 9}\end{equation*}$$
重力斥力场固有时间与坐标时间的关系
$$\begin{equation*}{\mathrm {d}}{\tau}={\sqrt{1+\frac{2 G M}{c^2 r}}{\mathrm {d}}t} \tag{18.1 - 10}\end{equation*}$$
把上面两个公式中的固有时间与坐标时间的比例命名为时间系数,取相同物理常数,绘制不同四维时空下的时间系数图像:
图82 不同四维时空下的时间系数的函数图像
Figure 82 Functional images of the time coefficients in different four-dimensional spacetimes
计算史瓦西半径处的重力斥力场的时间系数
| ${\sqrt{\frac{2 G M}{c^2 r}+1}}\text{/.}\, r\to \frac{2 G M}{c^2}$ |
| $\sqrt{2}$ |
| $\% // N$ |
| $1.41421$ |
地球处于弱引力场,低速的状态,那么地球四维时空参考系可以看做近似等于平直均匀的闵可夫斯基时空,地球参考系的固有时间近似等于坐标时间.
暗物质微粒从无穷远处到达暗物质天体史瓦西半径处,固有时间会加快,史瓦西半径处的固有时间等于坐标时间的1.41421倍.如果暗物质微粒所在位置的半径小于史瓦西半径,固有时间可以继续加快,在半径等于0处,固有时间等于坐标时间的∞倍.
物质微粒从无穷远处到达物质天体史瓦西半径处,固有时间会减慢,史瓦西半径处的固有时间等于坐标时间的0倍.
物质微粒靠近致密的物质天体,可以实现物质微粒相对于地球参考系的延缓衰老.
暗物质微粒靠近致密的暗物质天体,可以实现暗物质微粒相对于地球参考系的加速衰老.
在史瓦西解中,分别令切向微分和径向微分等于0,结合光的世界线长度(闵氏四维时空距离)等于零,可以得到:
光子在物质史瓦西场中的径向坐标速度和切向坐标速度
$$\begin{equation*}v_{\mathrm{r}}=\frac {\mathrm {d}r} {\mathrm {d}t}=\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)c \tag{18.1 - 11}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}v_{\mathrm{s}}=\frac {\mathrm {d}s} {\mathrm {d}t}=\sqrt{1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}}c \tag{18.1 - 12}\end{equation*}$$
负光子在暗物质史瓦西场中的径向坐标速度和切向坐标速度
$$\begin{equation*}v_{\mathrm{r}}=\frac {\mathrm {d}r} {\mathrm {d}t}=\left(1+{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)c \tag{18.1 - 13}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}v_{\mathrm{s}}=\frac {\mathrm {d}s} {\mathrm {d}t}=\sqrt{1+{\frac {2GM}{c^{2}r}}}c \tag{18.1 - 14}\end{equation*}$$
光子靠近致密的物质天体,可以实现光子相对于地球参考系的亚光速飞行.
负光子靠近致密的暗物质天体,可以实现负光子相对于地球参考系的超光速飞行.
上面的规则同样分别适用于物质微粒和暗物质微粒,只不过有质量的微粒始终只能无限接近光子速度和负光子速度,但永远不会达到光速.当有质量的微粒趋近于光速时,它的世界线长度(闵氏四维时空距离)无限接近于0,它在史瓦西场中的径向坐标速度和切向坐标速度将会接近光子或者负光子相应的径向坐标速度和切向坐标速度.
物质微粒靠近致密的物质天体,可以实现物质微粒相对于地球参考系的亚光速飞行.
暗物质微粒靠近致密的暗物质天体,可以实现暗物质微粒相对于地球参考系的超光速飞行.
物质微粒在重力引力场作用下会聚集成物质天体.暗物质微粒在重力斥力场作用下,一般以流体的形式存在,并依附于物质天体的周围.如果有其他力的参与,暗物质微粒可以聚集成暗物质天体,这里的暗物质天体是假想中的产物,实际上可能不存在或者非常罕见.
18.2 史瓦西解与非欧几何的关系
史瓦西解的度规表达式可以得出:
重力引力场,以史瓦西坐标原点为中心的一个球壳上任意一点,该点的切向微分长度不变,径向微分长度变大,时间微分长度变小.
重力斥力场,以史瓦西坐标原点为中心的一个球壳上任意一点,该点的切向微分长度不变,径向微分长度变小,时间微分长度变大.
重力场改变了平直闵式时空的特定方向上的空间长度和时间长度,那么以史瓦西坐标原点为中心的一个球壳上任意一点的半径就不是欧式几何中普通的圆的半径,并不是两点的坐标长度,需要通过积分才可以得到.
重力斥力场半径
$$\begin{equation*}\begin{aligned}r_{\text{real}}&=\int_0^r \frac{1}{\sqrt{1+\frac{2 G M}{c^2 r}}} \, {\mathrm {d}}r\\&=\sqrt{r \left(r+\frac{2 G M}{c^2}\right)}-\frac{2 G M }{c^2}\sinh ^{-1}\left[\sqrt{\frac{c^2 r}{2 G M}}\right] \end{aligned}\tag{18.2 - 1}\end{equation*}$$
重力引力场半径($r \geq r_{s}$)
$$\begin{equation*}\begin{aligned}r_{\text{real}}&=\int_{\frac{2 G M}{c^2}}^r \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2 G M}{c^2 r}}} \, {\mathrm {d}}r+\frac{2 G M}{c^2}\\&=\sqrt{r \left(r-\frac{2 G M}{c^2}\right)}+\frac{2 G M}{c^2}\tanh ^{-1}\left[\sqrt{1-\frac{2 G M}{c^2 r}}\right]+\frac{2 G M }{c^2}\end{aligned}\tag{18.2 - 2}\end{equation*}$$
重力引力场半径($r < r_{s}$)
$$\begin{equation*}r_{\text{real}} = r \tag{18.2 - 3}\end{equation*}$$
以史瓦西坐标原点为中心的一个球壳和一个通过原点的平面相交,获得一个圆$C_{\text{gf}}$.
圆$C_{\text{gf}}$在视觉上的半径等于欧式几何的圆的半径.在变形的四维时空中,因为径向微分长度相对于欧式几何变大或者变小,这个圆的半径等于前面积分得出的半径.
圆$C_{\text{gf}}$在视觉上的周长等于欧式几何的圆的周长.在变形的四维时空中,因为切向微分长度相对于欧式几何不变,这个圆的周长等于欧式几何的圆的周长.
取中心天体相同的质量数(不考虑c类复数的实数虚数单位),绘制史瓦西坐标中重力引力场半径,重力斥力场半径,平直闵式时空半径的图像.
图83 不同四维时空下的史瓦西坐标中实际半径的函数图像
Figure 83 Functional images of the real radius in the Swasey coordinates in different four-dimensional spacetimes
可以看到在坐标半径大于史瓦西半径的任何一点,重力引力场半径 $<$ 平直闵式时空半径 $<$ 重力斥力场半径.
把圆$C_{\text{gf}}$做如下处理:
如果圆$C_{\text{gf}}$在变形的四维时空中的周长和半径等于欧式几何的长度,用实线直线或者实线曲线表示.
如果圆$C_{\text{gf}}$在变形的四维时空中的周长和半径大于欧式几何的长度,用波浪线直线或者波浪线曲线表示.
如果圆$C_{\text{gf}}$在变形的四维时空中的周长和半径小于欧式几何的长度,用虚线直线或者虚线曲线表示.
波浪线拉直变成实线,视觉长度增加到变形的四维时空中的长度.
虚线拉直变成实线,视觉长度减少到变形的四维时空中的长度.
总结圆$C_{\text{gf}}$在不同情况下的几何特征,并给出与非欧几何,欧式几何的关系,得到如下表格:
表15 圆$C_{\text{gf}}$的几何特征
Table 15 Geometric features of the circle $C_{\text{gf}}$
| 时空类别 | 圆的周长拉直 | 圆的半径拉直 | 周长与直径的比值 | 几何种类 |
| 平直闵式时空 |  |
|
$\frac{P}{D}=\pi$ | 欧几里得几何 |
| 重力引力场 |  |
 |
$\frac{P}{D}<\pi$ | 椭圆几何 |
| 重力斥力场 |  |
 |
$\frac{P}{D}>\pi$ | 双曲几何 |
从上表的分类比较可以看出,重力引力场的三维空间属于椭圆几何(Elliptic Geometry),重力斥力场的三维空间属于双曲几何(Hyperbolic Geometry),平直闵式时空的三维空间属于欧几里得几何(Euclidean Geometry).
18.3 狭义相对论中的优势惯性系
迈克耳孙-莫雷实验(Michelson–Morley experiment)是为了验证以太是否存在而设计的一个实验,实验结果表明,在不同的惯性参考系中,光速是一样的.
荷兰物理学家洛伦兹(Hendrik Lorentz)提出洛伦兹变换(Lorentz transformation),对于光速在不同惯性参考系不变的原因,洛伦兹的解释是:观察者以太在以一定速度运动时,长度在运动方向上发生收缩,抵消了不同方向上的光速差异.89 [44]
爱因斯坦在抛弃以太、以光速不变原理和狭义相对性原理为基本假设的基础上建立了狭义相对论.狭义相对论认为空间和时间并不相互独立,而是一个统一的四维时空整体,并不存在绝对的空间和时间.在狭义相对论中,整个时空仍然是平直的、各向同性的和各点同性的,结合狭义相对性原理和上述时空的性质,也可以推导出洛伦兹变换.89
值得注意的是,洛伦兹并没有抛弃以太,但爱因斯坦抛弃了以太.
目前的主流学术观点认为,使用以光速不变原理和狭义相对性原理产生的足以解释光速在不同的惯性参考系中不变的现象,代表绝对时空的以太并没有支撑的证据证明它存在.在如此解释之下,迈克耳孙-莫雷实验否定了经典力学的绝对时空观,带来物理学观念上的变革.
从数学公式和逻辑的角度,看起来爱因斯坦的狭义相对论更加具备完备性和严密性,而且爱因斯坦的狭义相对论可以从几个公理推导出洛伦兹变换.这增加爱因斯坦与狭义相对论相关理论的可信度.
爱因斯坦在狭义相对论的第一篇论文《论动体的电动力学》中就提到,光以太的引入将被证明是多余的.[45]
主流学术支持了爱因斯坦抛弃以太的观点,并没有支持洛伦兹保留以太的观点.
下面,我们重新分析这个问题,代表绝对时空的以太是抛弃还是保留.
目前,我们知道,狭义相对论的公式可以成功解释迈克耳孙-莫雷实验的实验结果,并且狭义相对论并没有使用以太这个概念作为这个学说的组成部分.
人们认为光的传播依赖A,但看不见A,于是设计一个实验B,用来验证观察者与A的运动会影响光速,但没有得到预期的结果.爱因斯坦假设A不存在,并添加了一些公理,能够成功解释实验B,于是人们认为A不存在,应该被抛弃.
因为A没有给观察者传递信息,而是实验B能够观察到信息可以通过不依赖A的条件而得到合理的解释,进而认为A不存在.
假如世界上所有存在的事物都能给观测者传递信息,那么上面的逻辑推理是正确的.
假如有一部分世界上存在的事物不能给观测者传递信息,那么上面的逻辑推理是不完备的.
实验B和狭义相对论只能说明,无法通过实验B观察到A,但不能证明A的不在.如果所有与A相关的实验D、E、F、G、H...都无法观察到A的信息,这才可以断定A与我们现实世界无关,证明A的不存在.
并且这个所有这些A相关的实验的类型还需要具备完整性,尽可能穷举遍历所有可能的情况.即使受限于实验条件的限制,人类只能处理离散数据,并不能处理无穷的数据,只能选取概率上置信度较高的作为认定的标准,要做到实验的尽可能的完备性,只能选择一些典型的有限的实验.迈克耳孙-莫雷实验以及相类似的实验比较单调,并不能说明A相关的实验都无法观察到A的信息,也不能证明A的不存在.
代表绝对时空的以太是抛弃还是保留,可行的判断办法只有两个:
1 选择大量的典型的有限的覆盖面尽可能广的实验,继续无法观察到以太的信息,增加以太的不存在的可信度.
2 找到一个实验,能够观察到以太的信息,从而证明以太的存在.
前面第12章节中,使用新诞生的物质暗物质粒子对的低温黑体辐射成功地无矛盾地解释了宇宙微波背景辐射的来源,同时这个解释支持了以太的存在.
迈克耳孙-莫雷实验和狭义相对论得出的结论,如果严谨一点,并不能否定以太的存在,只能说不能证明以太的存在.
综合看来,以太存在于我们的宇宙这个命题更有可能为真,如果再增加一个实验能够证明以太存在的话,以太存在的可信度将大大提高,甚至于到达100%.
这样一个关键的实验就藏在狭义相对论相关论文中,而且是一个非常重要的实验.
爱因斯坦在论文《论动体的电动力学》中首次推导出洛伦兹变换的过程[46]并不严谨,存在拼凑的嫌疑.论文同时讨论了另外一个惯性系的运动方向与$x$轴同向和反向的情况.可能这样的情况并没有引起重视,使得其他人认为在爱因斯坦的狭义相对论中推导出洛伦兹变换这个过程没有漏洞.
更为现代的从光速不变理论直接推导出洛伦兹变换的过程,可以在《伯克利物理学教程(SI版) 第1卷 力学: 翻译版 原书第2版》中看到[47],这里使用待定系数法推导出洛伦兹变换.伯克利物理学教程的推导过程遗漏了另外一个惯性系的运动方向与$x$轴反向的情况.
下面开始从狭义相对论推导出优势惯性系,再推导出以太的存在.
设有两个惯性系a和b,b沿着$x$轴以速度$vx$相对于a运动.P是一束光的轨迹点,从惯性系a和惯性系b原点重合的时刻开始.在惯性系a中测得P的坐标是$(x_a,y_a,z_a)$,时间是$t_a$.在惯性系b中测得P的坐标是$(x_b,y_b,z_b)$,时间是$t_b$.惯性系a和惯性系b原点重合的时候,$t_a=t_b=0$.有一个长度为L的尺子沿着$x$轴方向放置,并且尺子与惯性系b保持相对静止.$L_{a\to b}$表示观察者在惯性系a中测量与惯性系b保持静止的尺子的长度,$L_{b\to b}$表示观察者在惯性系b中测量与惯性系b保持静止的尺子的长度.$T_{a\to b}$表示观察者在惯性系a中测量一束光从与惯性系b保持静止的尺子左端传播到右端花费的时间,$T_{b\to b}$表示观察者在惯性系b中测量一束光从与惯性系b保持静止的尺子左端传播到右端花费的时间.$vx$的绝对值大小等于$v$.
光在不同的惯性系速度相同.
$$\begin{equation*}x_a^2+y_a^2+z_a^2=(c t_a)^2 \tag{18.3 - 1}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}x_b^2+y_b^2+z_b^2=(c t_b)^2 \tag{18.3 - 2}\end{equation*}$$
两个惯性系之间存在线性关系
$$\begin{equation*}\{x_b= \epsilon t_a +\alpha x_a,y_b=y_a,z_b=z_a,t_b=\eta t_a+\delta x_a\} \tag{18.3 - 3}\end{equation*}$$
尺子的观测长度与坐标的关系
$$\begin{equation*}\{x_{a2}-x_{a1}= L_{a\to b}=\mathcal{L},x_{b2}-x_{b1}=L_{b\to b}=L\} \tag{18.3 - 4}\end{equation*}$$
光通过尺子两端的测量时间与坐标的关系
$$\begin{equation*}\{t_{a2}-t_{a1}= T_{a\to b}=\mathcal{T},t_{b2}-t_{b1}=T_{b\to b}= T\} \tag{18.3 - 5}\end{equation*}$$
$vx$与$x$轴同向
图84 两个惯性系a和b示意图1
Figure 84 Schematic diagram of two inertial systems a and b 1
两个惯性系a和b在重合的时候的微分关系
$$\begin{equation*}\{vx=v,\{x_b \to 0, \mathrm {d}x_a/\mathrm {d}t_a=v\},\{x_a \to 0, \mathrm {d}x_b/\mathrm {d}t_b=-v\}\} \tag{18.3 - 6}\end{equation*}$$
由18.3 - 1、18.3 - 2、18.3 - 3、18.3 - 4、18.3 - 5、18.3 - 6式可得
惯性系a的坐标转换为惯性系b的坐标
$$\begin{equation*}\left\{x_b=\frac{x_a}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-\frac{v t_a}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},y_b=y_a,z_b=z_a,t_b=\frac{t_a}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-\frac{v x_a}{c^2 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right\} \tag{18.3 - 7}\end{equation*}$$
惯性系b的坐标转换为惯性系a的坐标
$$\begin{equation*}\left\{x_a=\frac{x_b}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+\frac{v t_b}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},y_a=y_b,z_a=z_b,t_a=\frac{t_b}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+\frac{v x_b}{c^2 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right\} \tag{18.3 - 8}\end{equation*}$$
长度收缩公式,使用$L$和$T$表达
$$\begin{equation*}\frac{L_{a\to b}}{L_{b\to b}}=\frac{L+T v}{L \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\ ,\ \lim_{T\to 0}\frac{L+T v}{L \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \tag{18.3 - 9}\end{equation*}$$
长度收缩公式,使用$\mathcal{L}$和$\mathcal{T}$表达
$$\begin{equation*}\frac{L_{a\to b}}{L_{b\to b}}=\frac{\mathcal{L} \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{\mathcal{L}-\mathcal{T} v}\ ,\ \lim_{\mathcal{T}\to 0}\frac{\mathcal{L} \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{\mathcal{L}-\mathcal{T} v}=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \tag{18.3 - 10}\end{equation*}$$
时间膨胀公式,使用$L$和$T$表达
$$\begin{equation*}\frac{T_{a\to b}}{T_{b\to b}}=\frac{c^2 T+L v}{c^2 T \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\ ,\ \lim_{L\to 0}\frac{c^2 T+L v}{c^2 T \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \tag{18.3 - 11}\end{equation*}$$
时间膨胀公式,使用$\mathcal{L}$和$\mathcal{T}$表达
$$\begin{equation*}\frac{T_{a\to b}}{T_{b\to b}}=\frac{c^2 \mathcal{T} \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{c^2 \mathcal{T}-v \mathcal{L}}\ ,\ \lim_{\mathcal{L}\to 0}\frac{c^2 \mathcal{T} \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{c^2 \mathcal{T}-v \mathcal{L}}=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \tag{18.3 - 12}\end{equation*}$$
$vx$与$x$轴反向
图85 两个惯性系a和b示意图2
Figure 85 Schematic diagram of two inertial systems a and b 2
两个惯性系a和b在重合的时候的微分关系
$$\begin{equation*}\{vx=-v,\{x_b \to 0, \mathrm {d}x_a/\mathrm {d}t_a=-v\},\{x_a \to 0, \mathrm {d}x_b/\mathrm {d}t_b=v\}\} \tag{18.3 - 13}\end{equation*}$$
由18.3 - 1、18.3 - 2、18.3 - 3、18.3 - 4、18.3 - 5、18.3 - 13式可得
惯性系a的坐标转换为惯性系b的坐标
$$\begin{equation*}\left\{x_b=\frac{x_a}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+\frac{v t_a}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},y_b=y_a,z_b=z_a,t_b=\frac{t_a}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+\frac{v x_a}{c^2 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right\} \tag{18.3 - 14}\end{equation*}$$
惯性系b的坐标转换为惯性系a的坐标
$$\begin{equation*}\left\{x_a=\frac{x_b}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-\frac{v t_b}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},y_a=y_b,z_a=z_b,t_a=\frac{t_b}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-\frac{v x_b}{c^2 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right\} \tag{18.3 - 15}\end{equation*}$$
长度收缩公式,使用$L$和$T$表达
$$\begin{equation*}\frac{L_{a\to b}}{L_{b\to b}}=\frac{L-T v}{L \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\ ,\ \lim_{T\to 0}\frac{L-T v}{L \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \tag{18.3 - 16}\end{equation*}$$
长度收缩公式,使用$\mathcal{L}$和$\mathcal{T}$表达
$$\begin{equation*}\frac{L_{a\to b}}{L_{b\to b}}=\frac{\mathcal{L} \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{\mathcal{T} v+\mathcal{L}}\ ,\ \lim_{\mathcal{T}\to 0}\frac{\mathcal{L} \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{\mathcal{T} v+\mathcal{L}}=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \tag{18.3 - 17}\end{equation*}$$
时间膨胀公式,使用$L$和$T$表达
$$\begin{equation*}\frac{T_{a\to b}}{T_{b\to b}}=\frac{c^2 T-L v}{c^2 T \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\ ,\ \lim_{L\to 0}\frac{c^2 T-L v}{c^2 T \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \tag{18.3 - 18}\end{equation*}$$
时间膨胀公式,使用$\mathcal{L}$和$\mathcal{T}$表达
$$\begin{equation*}\frac{T_{a\to b}}{T_{b\to b}}=\frac{c^2 \mathcal{T} \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{c^2 \mathcal{T}+v \mathcal{L}}\ ,\ \lim_{\mathcal{L}\to 0}\frac{c^2 \mathcal{T} \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{c^2 \mathcal{T}+v \mathcal{L}}=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \tag{18.3 - 19}\end{equation*}$$
$vx$与$x$轴同向与$vx$与$x$轴反向两种情况下,得到的惯性系a的坐标转换为惯性系b的坐标的公式、惯性系b的坐标转换为惯性系a的坐标的公式是不同的,仔细检查公式,两个结果是对称的,两个惯性系a和b互换角色就能得到另一组公式.
使用$L$和$T$表达还是使用$\mathcal{L}$和$\mathcal{T}$表达,会导致长度收缩公式出现两个结果${\displaystyle\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$和${\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}$.两个结果是对称的,两个长度互换角色就能得到另一组公式.
使用$L$和$T$表达还是使用$\mathcal{L}$和$\mathcal{T}$表达,会导致时间膨胀公式出现两个结果${\displaystyle\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$和${\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}$.两个结果是对称的,两个时段互换角色就能得到另一组公式.
长度收缩公式和时间膨胀公式都出现两个结果,在目前的已知的条件下,两个结果都是合理的.那么增加一条规则,为长度收缩公式和时间膨胀公式都做出选择,而且只选择一个结果,只要不与现有的物理规则相冲突,这条规则应当是合理的.
规定:
当$vx$与$x$轴方向相同时,使用$\mathcal{L}$和$\mathcal{T}$表达长度收缩公式和时间膨胀公式.
当$vx$与$x$轴方向相反时,使用$L$和$T$表达长度收缩公式和时间膨胀公式.
上面的规则命名为$LT$选择规则.增加这一规则,使得($vx$与$x$轴方向是相同还是相反)与(惯性系a的坐标转换为惯性系b的坐标的公式是洛伦兹变换式还是洛伦兹变换式的反变换式)这两个事件的关联变换为($vx$与$x$轴方向是相同还是相反)与($L_{a\to b}$与$L_{b\to b}$的大小关系)这两个事件的关联,这样使得研究的对象更为直观一些.
易得
当$vx$与$x$轴方向相同时,${\displaystyle \frac{L_{a\to b}}{L_{b\to b}}=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$,$L_{a\to b}<L_{b\to b}$.
当$vx$与$x$轴方向相反时,${\displaystyle \frac{L_{a\to b}}{L_{b\to b}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}$,$L_{a\to b}>L_{b\to b}$.
更改$vx$与$x$轴方向是否相同这个条件,会得出 ($L_{a\to b}$大于$L_{b\to b}$) 这个命题出现真和假两个结果.
更改实验条件,会得出两个不同的结果.这个实验条件是坐标系$x$轴的方向,一般我们认为,坐标系的方向选择,不会改变物理规律的是实验结果,这里却恰恰发生了.
逻辑学中排中律指出,任何一个命题要么为真,要么为假,不存其他的情况.前面的实验,根据狭义相对论中现有的公式和条件,却得出真假同时存在的现象.
出现矛盾.
$L_{a\to b}$是否大于$L_{b\to b}$这个命题用$Event\_L$来表示.
$vx$与$x$轴方向是否相同这个命题用$Event\_vx$来表示.
$Event\_vx$的取值确实可以改变$Event\_L$,假设$Event\_vx$和$Event\_L$之间存在一种函数关系$f$,使得:
$$\begin{equation*}Event\_L = f \left(Event\_vx\ ,\ ...\right) \tag{18.3 - 20}\end{equation*}$$
当函数$f$只存在一个输入参数的时候
$$\begin{equation*}Event\_L = f \left(Event\_vx\right) \tag{18.3 - 21}\end{equation*}$$
易得
$$\begin{equation*}\left(f \left(x\right) = x \right)\lor\left(f \left(x\right) = !x\right) \tag{18.3 - 22}\end{equation*}$$
显然函数$f$只存在一个输入参数这种情况下并不符合排中律.
那么函数$f$存在大于等于2个输入参数为真.
下面尝试函数$f$存在2个输入参数的情况.
新增加的输入参数是命题 (b坐标系是否优势坐标系),并用$Event\_b$来表示它.
表16 长度收缩公式与优势坐标系、坐标系速度的关系
Table 16 Relationship between length contraction formula and dominant coordinate system and coordinate system velocity
| $vx$与$x$轴方向是否同向 | b坐标系是否优势坐标系 | $L_{a\to b}$是否大于$L_{b\to b}$ |
| 是 | 是 | 否 |
| 是 | 否 | 是 |
| 否 | 是 | 是 |
| 否 | 否 | 否 |
注意,上表中已经对长度收缩公式不同选项做出了选择,选择的依据是相关速度时间膨胀实验结果.比如,通过衰变比例和平均寿命计算μ子穿过大气层路程,使用经典力学得出的结果是实际大气层厚度的16倍多,使用狭义相对论的长度收缩公式可以得到与大气层厚度相近的结果.
把上面的表格转换为布尔代数
表17 长度收缩公式与优势坐标系、坐标系速度的关系(布尔函数)
Table 17 Relationship between length contraction formula and dominant coordinate system, coordinate system velocity (Boolean function)
| $Event\_vx$ | $Event\_b$ | $Event\_L$ | $Event\_vx\ \text{xor}\ Event\_b$ |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
$$\begin{equation*}Event\_L = Event\_vx\ \text{xor}\ Event\_b \tag{18.3 - 23}\end{equation*}$$
易得
$$\begin{equation*}f \left(x,y\right) = x\ \text{xor}\ y \tag{18.3 - 24}\end{equation*}$$
现在,$Event\_L$的取值是唯一的了,那么$L_{a\to b}$大于$L_{b\to b}$这个命题的真假是唯一的了.$Event\_vx$和$Event\_L$存在一种函数关系$f$已经找到.
通过增加了$LT$选择规则和公式18.3 - 23这个两个规则,使得狭义相对论中同一个物理量出现两种结果违反排中律的矛盾得以解决,同时使得长度收缩公式和时间膨胀公式符合实际物理实验的观测结果.
新增命题 (a坐标系是否优势坐标系),并用$Event\_a$来表示它.
函数$f$存在反函数,可以通过找到新的函数$f1$和$f2$,使得:
$f1\left(x,y\right)$ 输入$Event\_L$和$Event\_vx$得到$Event\_a$.
$f2\left(x,y\right)$ 输入$Event\_L$和$Event\_vx$得到$Event\_b$.
表18 优势坐标系与长度收缩公式、坐标系速度的关系(布尔函数)
Table 18 Relationship between dominant coordinate system and length contraction formula, coordinate system velocity (Boolean function)
| $Event\_L$ | $Event\_vx$ | $Event\_a$ | $Event\_b$ | $Event\_L\ \text{xnor}\ Event\_vx$ | $Event\_L\ \text{xor}\ Event\_vx$ |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
分析表格得到下面的恒等式:
$$\begin{equation*}Event\_a = Event\_L\ \text{xnor}\ Event\_vx \tag{18.3 - 25}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}Event\_b = Event\_L\ \text{xor}\ Event\_vx \tag{18.3 - 26}\end{equation*}$$
易得
$$\begin{equation*}f1 \left(x,y\right) = x\ \text{xnor}\ y \tag{18.3 - 27}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}f2 \left(x,y\right) = x\ \text{xor}\ y \tag{18.3 - 28}\end{equation*}$$
通过对 ($vx$与$x$轴方向是否同向的布尔值) 和 ($L_{a\to b}$是否大于$L_{b\to b}$的布尔值) 的同或运算或者异或运算,可以判断a惯性系和b惯性系中哪一个惯性系是优势惯性系.
哪一个惯性系是优势惯性系,存在两个可能结果:
1 $a \twoheadleftarrow b$
2 $a \twoheadrightarrow b$
双箭头的指向是优势惯性系.
第1个结果,a惯性系是优势惯性系,b惯性系是非优势惯性系.
第2个结果,a惯性系是非优势惯性系,b惯性系是优势惯性系.
a惯性系和b惯性系二者之间的关系是一个简单的矢量指向关系,一个优先级的关系.
假设存在无穷多个惯性系,每个惯性系的速度都不同,通过上面的矢量指向的层层迭代和优先级的层层叠加,最终会指向唯一的一个惯性系,这个惯性系比其他的惯性系的优先级都高,成为所有其他惯性系的优势惯性系,这个惯性系就是代表绝对时空的以太所在的惯性系.
以太所在的惯性系可以称为恒优势惯性系.
恒优势惯性系与其他惯性系的迭代关系如下图所示:
图86 恒优势惯性系示意图
Figure 86 Schematic diagram of the constant dominance inertial system
可见,存在一系列实验,能够观察到以太的信息,证明了以太的存在,以太不是多余的,应该保留.
18.4 广义相对论的强等效原理并不成立
这里的等效原理指的是,爱因斯坦在广义相对论论文中提出的强等效原理.原文如下:
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《关于相对性原理和由此得出的结论》 1908年1月 我们考察两个参照系$\Sigma_{1}$和$\Sigma_{2}$.$\Sigma_{1}$在它的$x$轴方向加速运动,$\gamma$是这个加速度的值(不因时间而变).$\Sigma_{2}$是静止的,但是它处在一个均匀的引力场中,这个引力场赋予一切物体在$x$轴方向一个加速度$-\gamma$. 就我们所知,无法把参照于$\Sigma_{1}$的物理定律同参照于$\Sigma_{2}$的物理定律区别开来,这是由于一切物体在引力场中都被同样地加速.因此,在我们的现有经验水平的情况下,我们没有理由假设参照系$\Sigma_{1}$和参照系$\Sigma_{2}$在某一方面彼此是有差别的,所以我们在下面将假设:引力场同参照系的相当的加速度在物理上完全等价. 这个假设把相对性原理扩展到参照系作均匀加速平移运动的情况.这个假设的启发性意义在于,它允许用一个均匀加速参照系来代替一个均匀引力场,而均匀加速参照系的这种情况,从理论研究的观点看来,在一定程度上是可以接受的.[48] |
|
《广义相对论基础》 1916年5月 在可以想象到的所有空间$R_{1}$,$R_{1}$等,不管它们之间有什么样的相对运动,在不修补上述认识论的障碍之下,其中没有哪一个是可以先验地被看成是优越的空间:物理定律必须具有这样的性质,即它们必须能适用于做任何运动的参考系. 自然界的普遍定律由一些方程来描写,这些方程对所有坐标系都同等适用,这就是说,这些方程对于不管什么样的任意坐标代换都是协变的(普遍协变的).[49] |
爱因斯坦认为用一个均匀加速参照系来代替一个均匀引力场是可行的.
这里表述的观点是,本文认为一个均匀加速参照系和相同加速度的一个均匀引力场二者并不等价.
原因如下:
1 根据史瓦西解和牛顿万有引力定律,只有距离中心天体无穷远处的重力场近似于平行的不变的,但是无穷远处的重力加速度近似等于0.均匀加速参照系加速度平行的不变的,加速度大小大于0,并不是近似等于0.
2 重力场本身会对空间不同位置的时间度规产生影响.均匀加速参照系中时间的度规只会随着参照系的运动速度而变化,当均匀加速参照系的运动速度等于0,加速度不等于0时,均匀加速参照系中时间的度规等于平直均匀的闵可夫斯基时空的度规.
3 均匀加速参照系的加速力一般是电磁力,而重力场加速的力是重力,二者性质不同.
所以,一个电磁力为加速作用力的均匀加速参照系与相应的重力场并不等价.一个电磁力为加速作用力的均匀加速参照系中,加速度本身并不会改变时间的度规,唯一能改变时间度规的是这个参照系的速度.
18.5 双生子佯谬新的解释
双生子佯谬(Twin paradox)是一个有关狭义相对论的思想实验.有一对双胞胎兄弟,一个登上超高速飞船作长时间的太空旅行,而另一个留在地球.结果当旅行者回到地球后,他发现自己比留在地球的兄弟更年轻.90
这个结果似乎与狭义相对论矛盾:狭义相对论所探讨的是物体惯性参考系的相对运动,比方说物体A为观察者,观察到物体B等速率远离自身.反之,物体B也会认为物体A等速率离开自身,根据狭义相对论,物体A会认为物体B的时钟走慢了,物体B也会认为物体A的时钟走慢了.狭义相对论指出所有观测者都有同等意义,没有任何一个参考系是会获得优待的.因此,旅行者觉得回到地球后会看见比他本人更年轻的双胞胎兄弟,但他兄弟的想法却恰好相反.90
爱因斯坦甚至认为,"没有哪一个是可以先验地被看成是优越的空间".
前面的分析可以得出,不同惯性系之间的优先级并不等价,并且存在一个恒优势惯性系.这个结论与爱因斯坦的观点完全相反.
假设留在地球的双胞胎是弟弟,登上超高速飞船的是双胞胎哥哥.使用狭义相对论中的优势惯性系可以很好地解释双生子佯谬的矛盾,原有的狭义相对论认为两个惯性系之间是平权的,但事实是二者并不平权,地球在以太中的速度大致等于太阳相对于宇宙微波背景辐射参考系的速度,这个速度为369.82±0.11 km/s.这个速度比较小,可以近似认为留在地球的双胞胎弟弟位于以太的惯性系,登上超高速飞船的双胞胎哥哥相对于以太做高速运动,飞船速度越快,相对于以太的惯性系他的时间过得越慢.双胞胎哥哥的固有时与飞船的运动速度绝对值相关,与速度的方向无关.仅仅从狭义相对论的角度,如果飞船的速度远远大于地球在以太中的运动速度,双生子佯谬结果是,双胞胎哥哥返回地球后,双胞胎哥哥比弟弟年轻.
爱因斯坦关于双生子佯谬的观点如下:
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《﹝编者按﹞爱因斯坦同德国反相对论者的冲突》 Gehrcke和爱因斯坦都曾出席柏林大学实验物理学教授Heinrich Rubens(1865-1922)组织的星期三物理讨论会.1914年5月20日和27日会议的主题是讨论相对论.这看来使Gehrcke有机会要求爱因斯坦说明时钟佯谬和时间的相对性:一只相对于在惯性系静止的同步时钟A运动的时钟B将会变慢.此外,如果钟B沿闭合路径旅行返回与钟A相遇,那么钟B将显示出逝去的时间比钟A显示的少.Gehrcke相信这会导致直接矛盾,因为同样也可将钟B看做静止而钟A相对于它运动.他向爱因斯坦提出这个问题,后者回答说运动的钟B落后是因为与钟A不同,它受到了加速.爱因斯坦解释说,这种加速与两个钟之间的时间差值无关,但其存在导致了钟B而不是钟A的变慢."加速运动在相对论中是绝对的."[50] |
|
《关于反对相对论的对话》 1918年11月 我们必须仔细注意,左右两栏描述的是同样的过程,但左边的描述是相对于坐标系$K$,而右边的描述是相对于坐标系$K^{'}$.根据这两种描述,在所考察的过程结束时,都是钟$U^{2}$落后$U^{1}$一定的量.相对于坐标系$K^{'}$,该现象按下列方式解释:在步骤2和步骤4期间,以速度$v$运动的钟$U^{1}$的速率确实比静止的钟$U^{2}$慢.但时间延迟被步骤3期间$U^{1}$较快的速率过度补偿.因为,根据广义相对论,一只钟所在地的引力势越高,其速率就增加得越快;在步骤3期间$U^{2}$确实处在引力势高于$U^{1}$的地方(中译者注:这里$U^{2}$应与$U^{1}$交换).计算表明,指针超前量正好是在步骤2和步骤4期间延迟量的两倍.这一分析就完全澄清了你所说的佯谬.[51] |
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《我对反相对论公司(团体)的答复》 1920年8月 Gehrcke先生宣称相对论会导致唯我论,所有专家都会把这个断言当做笑话来看待.他的根据是两只钟(或孪生子)的著名例子.其中一个相对于惯性系作往返旅行,而另一个不动;他断言在这种情况下相对论会导致真正荒唐的结果:紧靠在一起的两只钟每一只都比对方慢——尽管许多杰出的相对论专家已经(通过口头或书面)证明他的说法是错误的.我只能把这看做是故意试图误导门外汉.[52] |
双生子佯谬解释第一种解决方案是闵可夫斯基时空保持静止的双胞胎兄弟世界线长度最短.德国物理学家马克斯·冯·劳厄(Max von Laue)对于双生子佯谬解释是,在闵可夫斯基时空中,双胞胎兄弟在四维时空各自留下轨迹,持续时间方向的曲线中,直线连接具有最长的自身时间.[53]
图87 双生子佯谬的闵可夫斯基图
Figure 87 Minkowski diagram for the twin paradox
上图中,假设双胞胎哥哥离开地球的速度是$v$,返回地球的速度的是$-v$,不考虑加速和减速过程.分别在速度是0、$v$、$-v$的惯性系中绘制双胞胎的世界线.实线代表双胞胎弟弟,虚线代表双胞胎哥哥.
闵可夫斯基时空两点的长度
$$\begin{equation*}\Delta s =\sqrt{{-\Delta t}^2+{\Delta x}^2+{\Delta y}^2+{\Delta z}^2} \tag{18.5 - 1}\end{equation*}$$
不考虑y、z方向,仅仅考虑x方向的空间距离,闵可夫斯基时空两点的长度变为
$$\begin{equation*}\Delta s =\sqrt{{-\Delta t}^2+{\Delta x}^2} \tag{18.5 - 2}\end{equation*}$$
闵可夫斯基图两点的视觉长度
$$\begin{equation*}\Delta s_{e} =\sqrt{{\Delta t}^2+{\Delta x}^2} \tag{18.5 - 3}\end{equation*}$$
闵可夫斯基时空两点的长度与闵可夫斯基图两点的视觉长度并不存在严格的单调递增和单调递减函数关系.仅仅用视觉上世界线是直线,直线距离最短就得到这条世界线的时间最长,这样的推理并不严谨.带有质量的物体的世界线长度是虚数,它的世界线长度的平方是负数,世界线长度和世界线视觉长度是一个虚数乘积关系.
前面的推理隐含了可以用世界线长度的平方代替世界线长度的假设.因为世界线长度的平方是负数,世界线视觉长度的平方是正数,所以得出二者存在单调递减函数关系的结论.接下来,因为世界线视觉长度最短,所以世界线长度最长,固有时最长.世界线长度的平方代替世界线长度,在上面的情况中,只有在世界线长度的平方大于0的情况下才是成立的,在世界线长度的平方小于0的情况下是不成立的.
值得注意的是,对双生子佯谬解释中还存在以下三种解决方案,这些解决方案的学术来源是爱因斯坦的论文,后人把它们提取并发展成独立的命题.提及这三种解决方案有助于厘清相关概念.
1 狭义相对论的条件是两个惯性系,双生子佯谬中双胞胎哥哥存在加速和减速的过程,所以双胞胎哥哥不是处于惯性系中,所以狭义相对论的时间膨胀并不适用.
2 双生子佯谬中双胞胎哥哥处于非惯性系,爱因斯坦认为一个均匀加速参照系等价一个均匀引力场,因为引力时间膨胀效应,双胞胎哥哥会更年轻.
3 双胞胎哥哥在去程和返程之间的转向中出现时间跳跃.
下面对这三个解释进行反驳:
1 狭义相对论是建立在两个惯性系的基础上的,但狭义相对论并没有证明对于存在加速度非惯性系时间膨胀并不适用.
2 假设从地球的时空参考系来看,双胞胎哥哥的往返旅程一共花费10年,加速和减速时间一共花费4秒.加速和减速阶段等价于一个均匀引力场,引力时间膨胀效应会让双胞胎哥哥的固有时变得更短,但是双胞胎哥哥相对于地球时空参考系变得更年轻的时间最多不超过4秒.随着加速减速时间的不断减小,双胞胎哥哥和双胞胎弟弟的年龄接近相等.这与双生子佯谬使用狭义相对论的时间膨胀公式计算的结果不一致,出现矛盾.故均匀加速参照系等价一个均匀引力场作为双生子佯谬原因的解释不成立.
3 时间必须是连续的,时间出现跳跃不可接受.
优势惯性系和广义相对论的强等效原理并不成立的提出,已经从根本上解决了双生子佯谬.
18.6 爱因斯坦引力场方程中能动张量和质量的定义的变动
$$\begin{equation*}R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R=\frac{8\pi G}{c^{4}}T_{\mu \nu } \tag{18.6 - 1}\end{equation*}$$
前面提到,广义相对论的强等效原理并不成立.一个均匀加速参照系和相同加速度的一个均匀引力场二者并不等价.因此,由引力提供的加速度和由其他力提供的加速度并不等价,引力和其他力在四维时空造成的度规影响是不同的.
在爱因斯坦的原始论文以及现代广义相对论教程中,将非重力部分添加到爱因斯坦场方程的能动张量中是不合适的.
只有静质量相关的能量有可能引起时空弯曲,电磁场的能量不能引起时空弯曲.压力能本质上需要除了重力外第三种力(比如电磁力)才可以产生,属于其他力产生的能量.
爱因斯坦场方程中能动张量应去除电磁场能动张量,去除压力能,仅仅保留与静质量相关的能量.
$$\begin{equation*}T^{\mu \nu}=\rho u^\mu u^\nu \tag{18.6 - 2}\end{equation*}$$
四维速度
$$\begin{equation*}u^\mu \equiv \frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \tau} \tag{18.6 - 3}\end{equation*}$$
固有时间
$$\begin{equation*}\mathrm{d} \tau = \sqrt { -g_{0 0}}\mathrm{d} t \tag{18.6 - 4}\end{equation*}$$
密度定义
$$\begin{equation*}\rho = \frac {M}{V_{\mathrm{M}}} \tag{18.6 - 5}\end{equation*}$$
上式中,$M$代表产生引力场物质的质量,$V_{\mathrm{M}}$代表产生引力场物质的体积.
密度定义公式,和更改后的能动张量代入爱因斯坦引力场方程
$$\begin{equation*}R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R=\frac{8\pi G}{c^{4}}\frac {M}{V_{\mathrm{M}}} u^\mu u^\nu \tag{18.6 - 6}\end{equation*}$$
在质量矢量化之后,质量数是一个c类复数,原始的爱因斯坦场方程中,等式左边不含有c类复数,等式右边的物理量$M$和$G$含有c类复数.必须对等式右边的万有引力常数和质量的符号定义进行变动,使得物理量$M$和$G$转变为实数,才可以消除质量矢量化对爱因斯坦场方程带来的影响,使得使用原来的实数体系仍然能够处理暗物质的重力.
分析两个物体的重力作用,$m_{1}$代表大质量天体的质量,$m_{2}$代表小质量微粒的质量,$a$是小质量微粒的加速度.
联立牛顿第二运动定律和万有引力定律
$$\begin{equation*}F = m_{2} a = \frac{G m_{1} m_{2}}{r^{2}} \tag{18.6 - 7}\end{equation*}$$
变换可得加速度$a$的表达式
$$\begin{equation*} a = \frac{G }{r^{2}} \frac{m_{1} m_{2} }{m_{2} } \tag{18.6 - 8}\end{equation*}$$
上面的方程中,万有引力常数$G$是c类复数,$m_{1}$和$m_{2}$是质量数,也属于c类复数.$G$与$k^{-1}$相关.
把$G$做如下替换,使得$G$转变为实数.
$$\begin{equation*}G \to G \frac {1}{k} \tag{18.6 - 9}\end{equation*}$$
加速度$a$的表达式变为
$$\begin{equation*} a = \frac{G }{r^{2}} \frac{m_{1} m_{2} }{m_{2} }\frac {1}{k} \tag{18.6 - 10}\end{equation*}$$
定义相对质量数
$$\begin{equation*}M=\frac{m_{1} m_{2} }{m_{2} } \frac {1}{k} \tag{18.6 - 11}\end{equation*}$$
大质量天体和小质量微粒都含有物质和暗物质
$$\begin{equation*}m_{1} = M_{\mathrm{m}} k + M_{\mathrm{d}} i \tag{18.6 - 12}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}m_{2} = m_{\mathrm{m}} k + m_{\mathrm{d}} i \tag{18.6 - 13}\end{equation*}$$
使用c类复数运算规则恒等变换
$$\begin{equation*}\begin{aligned}\frac{m_{1} m_{2} }{m_{2} }&=\frac{ \left( M_{\mathrm{m}} k + M_{\mathrm{d}} i\right) \left( m_{\mathrm{m}} k + m_{\mathrm{d}} i\right)}{ m_{\mathrm{m}} k + m_{\mathrm{d}} i}\\ &=\frac{ M_{\mathrm{m}} m_{\mathrm{m}} +M_{\mathrm{m}} m_{\mathrm{d}} +M_{\mathrm{d}} m_{\mathrm{m}} -M_{\mathrm{d}} m_{\mathrm{d}}}{m_{\mathrm{m}} + m_{\mathrm{d}}}{k} \\\end{aligned}\tag{18.6 - 14}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}\begin{aligned}M &=\frac{ M_{\mathrm{m}} m_{\mathrm{m}} +M_{\mathrm{m}} m_{\mathrm{d}} +M_{\mathrm{d}} m_{\mathrm{m}} -M_{\mathrm{d}} m_{\mathrm{d}}}{m_{\mathrm{m}} + m_{\mathrm{d}}}{k} \frac {1}{k}\\ &= \frac{ M_{\mathrm{m}} m_{\mathrm{m}} +M_{\mathrm{m}} m_{\mathrm{d}} +M_{\mathrm{d}} m_{\mathrm{m}} -M_{\mathrm{d}} m_{\mathrm{d}}}{m_{\mathrm{m}} + m_{\mathrm{d}}} \\\end{aligned}\tag{18.6 - 15}\end{equation*}$$
可见相对质量数也是实数,相对质量数是在考虑添加暗物质之后的等效质量数,可用于引力势,同样可以用于爱因斯坦场方程.
加速度$a$的表达式不再含有c类复数.
$$\begin{equation*} a = \frac{G M}{r^{2}} \tag{18.6 - 16}\end{equation*}$$
把相对质量数代入爱因斯坦引力场方程
$$\begin{equation*}R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R=\frac{8\pi G}{c^{4}} \frac{ M_{\mathrm{m}} m_{\mathrm{m}} +M_{\mathrm{m}} m_{\mathrm{d}} +M_{\mathrm{d}} m_{\mathrm{m}} -M_{\mathrm{d}} m_{\mathrm{d}}}{m_{\mathrm{m}} + m_{\mathrm{d}}}\frac {1}{V_{\mathrm{M}}} u^\mu u^\nu \tag{18.6 - 17}\end{equation*}$$
时空弯曲是相对的,暗物质与暗物质之间产生斥力场,物质与物质之间产生引力场,物质与暗物质之间产生引力场.时空弯曲仅仅与受到重力相互作用的两个物体相对质量数有关.
当重力相互作用的两个物体都是只含有暗物质时,爱因斯坦引力场方程变为
$$\begin{equation*}R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R= -\frac{8\pi G}{c^{4}} \frac {M_{\mathrm{d}}}{V_{\mathrm{M}}} u^\mu u^\nu \tag{18.6 - 18}\end{equation*}$$
当重力相互作用的两个物体是混合均匀的,两个物质的质量集中在一个点上,把不同相对比例的物质暗物质看做一个整体时,两个物体的质量满足等式$M_{\mathrm{m}} m_{\mathrm{m}} +M_{\mathrm{m}} m_{\mathrm{d}} +M_{\mathrm{d}} m_{\mathrm{m}} -M_{\mathrm{d}} m_{\mathrm{d}}=0$时,二者之间的重力等于0,相对质量数等于0,时空没有弯曲,是平直的闵氏时空.
如果从微观角度看,物质微粒和暗物质微粒并未合为一体.当这两个物体之间的总重力为0时,两个物体中暗物质和物质微粒仍然处于相应的重力引力场和重力斥力场.因此,同一个物体中的物质微粒和暗物质微粒各自的空间度规和时间度规可能不相等.
18.7 速度时间膨胀和引力时间膨胀的结合
速度时间膨胀和引力时间膨胀的结合的典型例子就是全球定位系统(Global Positioning System,GPS)卫星与地面时间的同步.
狭义相对论认为高速移动物体的时间流逝得比静止的要慢.每个GPS卫星时速为1.4万千米,根据狭义相对论,它的星载原子钟每天要比地球上的钟慢7微秒.另一方面,广义相对论认为引力对时间施加的影响更大,GPS卫星位于距离地面大约2万千米的太空中,由于GPS卫星的原子钟比在地球表面的原子钟重力位高,星载时钟每天要快45微秒.两者综合的结果是,星载时钟每天大约比地面钟快38微秒.91
上一段文字来自北斗卫星导航系统网站.
意大利籍物理学教授Cosimo Bambi在《广义相对论导论》中也提到GPS卫星与地面GPS接收器的时间同步计算.[54]
前面提到的两处GPS卫星的延时计算都是分别独立考虑狭义相对论延时和广义相对论延时,最后把两个延时相加.
对于一个已经成功得到解决的物理现象,如果仅仅是重复前人的成果,那么这里重新提出来没有太大意义.这里提出来原因是,作者重新分析得出,对于GPS卫星的狭义相对论延时和广义相对论延时结合,前面提到的两处计算结果是正确的,但计算公式并不是精确的.
速度时间膨胀和引力时间膨胀的结合流程可以表示为:
没有重力作用的没有相对运动的以太-->被重力改变度规的以太-->被相对运动改变度规的并且被重力改变度规的以太
(以太) -->被重力改变度规的 (以太) -->被相对运动改变度规的 (被重力改变度规的 (以太) )
用$t$表示坐标时间.
被相对运动改变的固有时间
$$\begin{equation*}\tau=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}t \tag{18.7 - 1}\end{equation*}$$
被重力引力场改变的固有时间
$$\begin{equation*}\tau={\sqrt{1-\frac{2 G M}{c^2 r}}t} \tag{18.7 - 2}\end{equation*}$$
上面分别是速度时间膨胀公式和引力时间膨胀公式
不考虑相对运动,地球表面被重力引力场改变的固有时间
$$\begin{equation*}T_{land}={\sqrt{1-\frac{2 G M}{c^2 r_{land}}}t} \tag{18.7 - 3}\end{equation*}$$
不考虑相对运动,GPS卫星所在的位置被重力引力场改变的固有时间
$$\begin{equation*}T_{gps}={\sqrt{1-\frac{2 G M}{c^2 r_{gps}}}t} \tag{18.7 - 4}\end{equation*}$$
考虑GPS卫星运动后,GPS卫星的固有时间是在原有被重力引力场改变的固有时间基础上,实施速度时间膨胀
$$\begin{equation*}T_{gps\_v}=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}T_{gps} \tag{18.7 - 5}\end{equation*}$$
联立上面的方程得到地球表面的固有时间和GPS卫星固有时间的关系
$$\begin{equation*}T_{gps\_v}=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\frac{ \sqrt{1-\frac{2 G M}{c^2 r_{gps}}}}{\sqrt{1-\frac{2 G M}{c^2 r_{land}}}}T_{land} \tag{18.7 - 6}\end{equation*}$$
GPS卫星轨道是圆形的,万有引力提供向心力
$$\begin{equation*}\frac{G m M}{r_{gps}^2}=\frac{m v^2}{r_{gps}} \tag{18.7 - 7}\end{equation*}$$
GPS卫星轨道速度
$$\begin{equation*}v= \sqrt{\frac{G M} {r_{gps}}} \tag{18.7 - 8}\end{equation*}$$
GPS卫星轨道速度代入速度时间膨胀系数
$$\begin{equation*}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\sqrt{1-\frac{G M}{c^2 r_{gps}}} \tag{18.7 - 9}\end{equation*}$$
地球表面固有时间和GPS卫星固有时间关系式
$$\begin{equation*}T_{gps\_v}=\sqrt{1-\frac{G M}{c^2 r_{gps}}}\frac{ \sqrt{1-\frac{2 G M}{c^2 r_{gps}}}}{\sqrt{1-\frac{2 G M}{c^2 r_{land}}}}T_{land} \tag{18.7 - 10}\end{equation*}$$
令$$\begin{equation*}\sqrt{1-\frac{G M}{c^2 r_{gps}}}= 1- k_1 \tag{18.7 - 11}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}\frac{ \sqrt{1-\frac{2 G M}{c^2 r_{gps}}}}{\sqrt{1-\frac{2 G M}{c^2 r_{land}}}}=1+k_2 \tag{18.7 - 12}\end{equation*}$$
上面两个公式中,$- k_1$和$k_2$分别是速度时间膨胀相对系数和引力时间膨胀相对系数,$1- k_1$和$1+k_2$分别是速度时间膨胀系数和引力时间膨胀系数
代入$- k_1$和$k_2$
$$\begin{equation*}T_{gps\_v}=(1- k_1)(1+ k_2)T_{land} =(1+k_2-k_1-k_1k_2)T_{land} \tag{18.7 - 13}\end{equation*}$$
GPS卫星延时关系式
$$\begin{equation*}T_{gps\_v}-T_{land}=(k_2-k_1-k_1k_2)T_{land} \tag{18.7 - 14}\end{equation*}$$
上面公式中的已知的物理量:
$r_{land}=6371.0 \mathrm{km}$,$r_{gps}=26559.8 \mathrm{km}$,$M=5.97237×10^{24} \mathrm{kg}$,$c=299792458 \mathrm{m}^{1}\mathrm {s} ^{-1}$,$G=6.67430\times 10^{-11}\mathrm {m} ^{3}\mathrm {kg} ^{-1}\mathrm {s} ^{-2}$
把这些物理量代入公式,分别求得
$k_1=8.34942\times 10^{-11}$
$k_2=5.29163\times 10^{-10}$
仅考虑速度时间膨胀,经过24小时的GPS卫星延时
$-k_1\times(60\times60\times24)\mathrm {s}=-7.2139\times10^{-6}\mathrm {s}=-7.2139\mathrm {\mu s}$
仅考虑引力时间膨胀,经过24小时的GPS卫星延时
$k_2\times(60\times60\times24)\mathrm {s}=4.57197\times10^{-5}\mathrm {s}=45.7197\mathrm {\mu s}$
注意到相对于$k_1$和$k_2$,$k_1k_2$的数量级非常小,可以近似于0.
$k_1k_2=4.4182\times10^{-20}\approx0$
GPS卫星延时的近似公式
$$\begin{equation*}T_{gps\_v}-T_{land}\approx(k_2-k_1)T_{land} \tag{18.7 - 15}\end{equation*}$$
GPS卫星延时的近似公式的计算结果
$(k_2-k_1)\times(60\times60\times24)\mathrm {s}=3.85058\times10^{-5}\mathrm {s}=38.5058\mathrm {\mu s}$
GPS卫星延时关系式的计算结果
$(k_2-k_1-k_1k_2)\times(60\times60\times24)\mathrm {s}=3.85057\times10^{-5}\mathrm {s}=38.5057\mathrm {\mu s}$
可见,GPS卫星延时的近似公式和GPS卫星延时关系式计算结果相差不大.
速度时间膨胀和引力时间膨胀的结合后的延时计算,分别独立考虑狭义相对论延时和广义相对论延时,最后把两个延时相加.这种计算方法对于GPS卫星所以能够成立,原因是GPS卫星的速度时间膨胀相对系数和引力时间膨胀相对系数法的乘积数量级比较小.速度时间膨胀和引力时间膨胀的结合,底层原因并不是速度时间膨胀相对系数和引力时间膨胀相对系数线性叠加,而是速度时间膨胀系数和引力时间膨胀系数乘积.
在这里,坐标时间作为GPS卫星和地球地面两个位置固有时间比较的联系纽带,不可或缺.类似的情况还有引力红移公式,在引力红移公式推导过程中,同一束光在经过不同引力势的两点,两点的固有时间相比较的联系纽带就是坐标时间.坐标时间真实存在,并不是虚构的,并具有物理意义,坐标时间就是没有重力作用的没有相对运动的以太的固有时间.
18.8 相对论相关原理变动的验证实验
a. 在真空中有两个大质量的球体A和B.当A保持静止,B接近光速时,测量A和B在距离等于L时的万有引力.当A和B都接近光速时,测量A和B在距离等于L时的万有引力.前述接近光速的实验条件也可以换成其他速度,只要能够引起显著的相对论效应.验证A和B之间的万有引力与A和B的相对性质量相关还是静质量相关.
预期结果:万有引力与相对性质量无关,仅仅与静质量有关.
b. 在真空中有两个球体A和B,球体A的质量较大,球体B的质量几乎为0.另外还有两个球体C和D,C和D质量相同.A和C不带电荷,B和D带电荷,A和C之间的万有引力等于B和D之间的库仑力,A和D之间的距离等于B和C之间的距离.测量C的固有时和D的固有时,并进行快慢比较.验证电场力是否能够像引力一样改变时间度规.更换实验条件,把电场力换成磁场力,重新在新的条件下进行实验.
预期结果:电磁力和电磁力相关的能动张量不能改变时间度规,能够改变时间度规的只有运动和重力.
c. 在一个高速飞行的宇宙飞船中,飞船的速度等于1/2光速,在飞船上制造引力波.在飞船上测量引力波传播速度,同时也在静止参考系测量引力波的传播速度.已知在静止参考系的产生的引力波的传播速度等于光速.前面的飞船的速度等于1/2光速的实验条件也可以换成其他速度,只要能够引起显著的相对论效应.验证引力波的传播速度与飞船的速度之间是否满足相对论速度加法公式和伽利略变换公式.
预期结果:引力波的传播速度与引力波所在惯性系的速度之间不满足相对论速度加法公式,引力波在以太的坐标系中的传播速度等于光速,其他惯性系测量的引力波传播速度满足伽利略变换公式,使用以太的坐标系中的时间和空间作为基准,这个速度应该在0-2c之间.电磁波也在以太中传播,虽然以太参考系与电磁波源相对速度可以改变电磁波的时间度规和空间度规,但不会改变电磁波的在不同惯性系中的传播速度.
上面的实验结果可以对现有理论的重新评估或修正,包括广义相对论与质量的关系,电磁力与时空曲率的关系,引力波的传播速度,以太的存在.