5 负光子、虚电磁波与麦克斯韦方程组
下面开始,在电动力学领域检查暗物质带来的影响.在此之前做一些预备工作,因为引入新的数系的缘故,有必要整理归纳实数和c类复数单位向量的运算关系,以及c类复数单位向量之间的运算关系.
现有的数学体系中不同数之间的关系:
自然数$\subset$整数$\subset$有理数$\subset$实数$\subset$复数
为所有的实数添加一个单位$n$.
下面的表格列出c类复数实数单位$k$,c类复数虚数单位$i$和实数单位$n$之间的运算关系
表7 c类复数单位向量和实数单位向量之间的运算关系
Table 7 Operational relations between class c complex unit vectors and real unit vectors
| $k \times k = k$ | $\sqrt{-i} = 未定义$ |
| $k \times i = k$ | $k \times n = n k$ |
| $i \times i = -k$ | $i \times n = n i$ |
| $k \div k = (k , i , -i , n)$ | $n \times n = n$ |
| $i \div i = (k , i , -i , n)$ | $n \div n = n$ |
| $k \div i = (k , -i)$ | $n \div k = n k^{-1}$ |
| $i \div k = (k ,-k , i , -i)$ | $n \div i = n i^{-1}$ |
| $\sqrt{k} = k$ | $n i^{-1}=- n k^{-1}$ |
| $\sqrt{-k} = i$ | $k \div n = n k$ |
| $\sqrt{i} = 未定义$ | $i \div n = n i$ |
c类复数是刚刚提出来的新的数系,上面的运算规则可能不够完善.$k^{-1}$和$i^{-1}$与不同的单位向量相乘会出现不同的结果,这类数可以分别称为c类不定实数和c类不定虚数.
上表中,括号内的值表示运算有多个可能的结果.
国际单位制基本单位如下表所示
表8 国际单位制基本单位
Table 8 Basic units of the International System of Units
| 物理量 | 单位符号 |
| 长度 | m |
| 质量 | kg |
| 时间 | s |
| 电流 | A |
| 热力学温度 | K |
| 物质的量 | mol |
| 发光强度 | cd |
下面的表格给出常见的从国际单位制导出的命名单位和物理量的复合单位
表9 常见的命名单位和物理量的复合单位以基本单位表达
Table 9 Common named units and composite units of physical quantities expressed in basic units
| 物理量 | 单位符号 | 以基本单位表达 | 物理量 | 单位符号 | 以基本单位表达 |
| 力 | N | kg·m·s-2 | 速度 | m·s-1 | |
| 压强 | Pa | kg·m-1·s-2 | 加速度 | m·s-2 | |
| 能量 | J | kg·m2·s-2 | 动量 | kg·m·s-1 | |
| 功率 | W | kg·m2·s-3 | 普朗克常数 | kg·m2·s-1 | |
| 电压 | V | kg·m2·s-3·A-1 | 电场强度 | kg·m·s-3·A-1 | |
| 电容 | F | kg-1·m-2·s4·A2 | 电位移 | m-2·s·A | |
| 电阻 | Ω | kg·m2·s-3·A-2 | 磁感应强度 | kg·s-2·A-1 | |
| 电导 | S | kg-1·m-2·s3·A2 | 磁场强度 | m-1·A | |
| 磁通量 | Wb | kg·m2·s-2·A-1 | 真空电容率 | kg-1·m-3·s4·A2 | |
| 电感 | H | kg·m2·s-2·A-2 | 真空磁导率 | kg·m·s-2·A-2 | |
| 电荷 | C | s·A | 万有引力常数 | kg-1·m3·s-2 | |
| 频率 | Hz | s-1 |
原有的物理量的一般的取值是实数.当7个基本单位中的质量定义发生变化后,所有与质量相关的物理量使用的数值都会出现变动.
下面的表格按照与质量相关的属性,划分不同的物理量,与质量相关的物理量通常与kg或者kg-1有关.
表10 按照与质量相关的属性划分的物理量
Table 10 Physical quantities according to attributes related to quality
| 与$k$或者$i$相关的物理量 | 力,压强,能量,功率,电压,电阻,磁通量,电感,动量,普朗克常数,电场强度,磁感应强度,真空磁导率 |
| 与$k^{-1}$或者$i^{-1}$相关的物理量 | 真空电容率,电容,电导,万有引力常数 |
| 仅仅由实数构成,与c类复数无关的物理量 | 长度,时间,电流,电荷,频率,速度,加速度,电位移,磁场强度 |
麦克斯韦方程组(Maxwell's equations)是因英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦(James Clerk Maxwell)而命名.麦克斯韦在19世纪60年代构想出这方程组的早期形式,并在1873年提出较为完善的形式.麦克斯韦方程组是一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程.早期麦克斯韦的方程组有20条方程,今天通用的麦克斯韦方程组只有4条方程,这个利用向量简化麦克斯韦方程组的工作则由英国物理学家奥利弗·亥维赛(Oliver Heaviside)完成.9 10 [4]
光子,又称光量子,是传递电磁相互作用的基本粒子.现代光子概念建立在阿尔伯特·爱因斯坦(Albert Einstein)和德国物理学家马克斯·普朗克(Max Planck)的研究基础上.1926年,美国物理化学家吉尔伯特·路易斯(Gilbert Lewis)正式提出"光子(photon)"的命名.11
物质吸收光和发射光所涉及的能量量子化可以正确解释黑体辐射与光电效应等实验现象.
根据前面的结论,物质世界的能量和质量与暗物质世界的能量和质量互为虚数乘积关系.
在频率相同的情况下,物质世界物质吸收光和发射光所涉及的每一份能量与暗物质世界暗物质吸收光和发射光所涉及的每一份能量也存在虚数乘积关系.相对于物质世界的光子、电磁波,暗物质世界的光子、电磁波可以称之为负光子、虚电磁波.
在电磁学中,坡印亭定理是用偏微分方程陈述的关于电磁场的能量守恒的定理,由英国物理学家约翰·亨利·坡印亭(John Henry Poynting)于1884年发表.12 13
在坡印亭定理中,电磁场的能量密度
$$\begin{equation*}u = \frac{1}{2} ( \mathbf{E} \cdot \mathbf{D} + \mathbf{B} \cdot \mathbf{H} ) \tag{5 - 1}\end{equation*}$$
在真空中传播的电磁波的能量密度$u$14
$$\begin{equation*}u = \frac{1}{2} ( \varepsilon_{0} \mathbf{E}^{2} + \frac{1}{\mu_{0}} \mathbf{B}^{2} ) \tag{5 - 2}\end{equation*}$$
其中,$\mathbf{E}$ 电场强度,$\mathbf{B}$ 磁感应强度,$\mathbf{D}$ 电位移矢量,$\mathbf{H}$ 磁场强度,$\mu_{0}$ 真空磁导率,$\varepsilon_{0}$ 真空电容率.
能量密度$u$是存储在给定系统或空间区域中每单位体积的能量.15
约定电磁波在给定空间区域的体积为$V$,总能量为$E$,可得
$$\begin{equation*}E = uV = \frac{1}{2} ( \varepsilon_{0} \mathbf{E}^{2} + \frac{1}{\mu_{0}} \mathbf{B}^{2} ) V \tag{5 - 3}\end{equation*}$$
在量子力学里,普朗克-爱因斯坦关系式阐明,光子的能量与频率成正比16
$$\begin{equation*}E = hν \tag{5 - 4}\end{equation*}$$
其中,$E$ 光子能量,$h$ 普朗克常数,$\nu$ 光子频率.
约定上面体积为$V$的给定空间区域的电磁波总能量为$E$,对应于频率为$\nu$的一份光子能量.
易得
假如$E$是c类实数,那么$\mathbf{E}$、$\mathbf{B}$、$h$、$\mu_{0}$都是c类实数,$\varepsilon_{0}$是c类不定实数.
假设$E$是c类虚数,那么$\mathbf{E}$、$\mathbf{B}$、$h$、$\mu_{0}$都是c类虚数,$\varepsilon_{0}$是c类不定虚数.
在物质世界的能量是c类实数,暗物质能量是c类虚数的前提下,暗物质世界的电场强度、磁感应强度、普朗克常数、真空磁导率都是c类虚数,而物质世界的电场强度、磁感应强度、普朗克常数、真空磁导率都是c类实数.暗物质世界的真空电容率是c类不定虚数,物质世界的真空电容率是c类不定实数.
接下来,我们将检查前述假设在麦克斯韦方程组中是否存在矛盾.
在没有电荷和电流的真空中,麦克斯韦方程组变为[5]
$$\begin{equation*}\nabla \cdot \mathbf{E} = 0 \tag{5 - 5}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \tag{5 - 6}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{ \partial \mathbf{B}}{\partial t} \tag{5 - 7}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}\nabla \times \mathbf{B} = \mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \tag{5 - 8}\end{equation*}$$
对5 - 7式和5 - 8式作向量恒等变换
$$\begin{equation*}\begin{aligned}\nabla \times(\nabla \times \mathbf{E}) & =\nabla(\nabla \cdot \mathbf{E})-\nabla^2 \mathbf{E}=\nabla \times\left(-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right) \\& =-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})=-\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}\end{aligned} \tag{5 - 9}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}\begin{aligned}\nabla \times ( \nabla \times \mathbf{B} ) &=\nabla ( \nabla \cdot \mathbf{B} ) - \nabla^{2} \mathbf{B}= \nabla \times \left( \mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) \\ &=\mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial}{\partial t} ( \nabla \times \mathbf{E} ) = - \mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial^{2} \mathbf{B}}{\partial t^{2}}\end{aligned} \tag{5 - 10}\end{equation*}$$
把5 - 5式代入5 - 9式,把5 - 6式代入5 - 10式,可得
$$\begin{equation*}\nabla^{2} \mathbf{E} = \mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial^{2} \mathbf{E}}{\partial t^{2}} \tag{5 - 11}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}\nabla^{2} \mathbf{B} = \mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial^{2} \mathbf{B}}{\partial t^{2}} \tag{5 - 12}\end{equation*}$$
这个时候,电磁波的磁感应强度$\mathbf{B}$和电场强度$\mathbf{E}$已经分离变量,彼此独立了.$\mathbf{B}$和$\mathbf{E}$同时满足三维波动方程
$$\begin{equation*}\nabla^{2} f = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} \tag{5 - 13}\end{equation*}$$
平面行进正弦波可以作为波动方程5 - 11、5 - 12的一般解.
构建一个简单的电磁场,满足上面的波动方程,电磁场的磁感应强度和电场强度与空间时间的关系如下[6]:
$\begin{flalign}\mathbf{E} = \mathbf{E_{0}} \sin [y - vt] \hat{z}\end{flalign}$
$\begin{flalign}\mathbf{B} = \mathbf{B_{0}} \sin [y - vt] \hat{x}\end{flalign}$
$\begin{flalign}c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}\end{flalign}$
$\begin{flalign}v = \pm c\end{flalign}$
$\begin{flalign}\mathbf{E_{0}} = v \mathbf{B_{0}}\end{flalign}$
$\begin{flalign}\mathbf{B_{0}} = \frac{1}{v} \mathbf{E_{0}}\end{flalign}$
其中$\mathbf{E_{0}}$和$\mathbf{B_{0}}$是常量,$c$是光速,$v$是电磁波传播速度,$\hat{x}$是x轴的单位向量,$\hat{z}$是z轴的单位向量,$\mathbf{E}$、$\mathbf{B}$、$\mu_{0}$、$\varepsilon_{0}$与5 - 2式中的定义相同.
绘制在原点处$\mathbf{B}$和$\mathbf{E}$恰好等于0时刻的电磁波图像
图7 平面行进正弦波的电磁波图像
Figure 7 Image of an electromagnetic wave in the form of a plane traveling sine wave
下面开始对光速$c$进行检验.
$$\begin{equation*}c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}} \tag{5 - 14}\end{equation*}$$
根据前面的结论,暗物质世界的$\varepsilon_{0}$是c类不定虚数、$\mu_{0}$是c类虚数,物质世界的$\varepsilon_{0}$是c类不定实数、$\mu_{0}$是c类实数.
分析可得:
物质世界的电磁波与暗物质世界的虚电磁波传播速度$c$都是实数,并且数值相等.
相对论能量-动量方程
$E^{2} = ( pc )^{2} + ( m_{0} c^{2} )^{2}$
对于光子,动量$p ≠ 0$,静质量$m_{0} = 0$
相对论能量-动量方程变为
$$\begin{equation*}E^{2} = ( pc )^{2} \tag{5 - 15}\end{equation*}$$
假设$E$是正c类实数或者正c类虚数,前面已经分析得$c$是实数,开方可得
$$\begin{equation*}E = pc \tag{5 - 16}\end{equation*}$$
分析可得:
物质世界的光子的动量$p$是c类实数,
暗物质世界负光子的动量$p$是c类虚数.
物质波,又称德布罗意波,是量子力学理论的中心部分,该理论指出所有物质都表现出波动性.物质波由法国物理学家路易·德布罗意(Louis de Broglie)在1924年提出的,也被称为德布罗意假说.17德布罗意关系式中,具有质量的粒子物质波的波长$\lambda$与普朗克常数$h$和它的动量$p$有关:
$$\begin{equation*}\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv} \tag{5 - 17}\end{equation*}$$
波长$\lambda$,是空间长度的一种表示.
前面的结论可得:
对于物质世界,普朗克常数$h$是c类实数,光子的动量$p$也是c类实数.
对于暗物质世界,普朗克常数$h$是c类虚数,负光子的动量$p$也是c类虚数.
可得:
物质世界的光子德布罗意波的波长$\lambda$是实数.
暗物质世界的负光子德布罗意波的波长$\lambda$是实数.
电磁波频率、波长、光速之间的关系为18
$$\begin{equation*}c = \nu \lambda \tag{5 - 18}\end{equation*}$$
已知物质世界的电磁波与暗物质世界的虚电磁波传播速度$c$都是实数,物质世界的光子的波长$\lambda$是实数,暗物质世界的负光子的波长$\lambda$是实数.
可得:
物质世界的光子德布罗意波的频率$\nu$是实数.
暗物质世界的负光子德布罗意波的频率$\nu$是实数.
频率,是物理学上描述某种具有规律周期性的现象或事件,在每单位时间内重复发生的次数.周期定义为往复运动一次所需要的时间,故频率也可以表示为周期的倒数19 20
$$\begin{equation*}\nu = \frac{1}{T} \tag{5 - 19}\end{equation*}$$
上式中$T$代表周期,是时间长度的一种表示.
电磁波周期、波长、光速之间的关系为
$$\begin{equation*}c = \frac{\lambda}{T} \tag{5 - 20}\end{equation*}$$
已知光子和负光子的频率都是实数,可得:
在物质世界和暗物质世界,周期$T$取值范围都是实数.
前面约定能量的平方和称为二阶能量,用$SOE$表示.
考虑1 - 7式,可得:
在物质世界和暗物质世界,二阶能量$SOE$都是c类实数.
在物质世界和暗物质世界,光速、空间、时间都是实数.电场强度、磁感应强度、普朗克常数、真空磁导率、动量、质量、能量、二阶能量在物质世界是c类实数,在暗物质世界是c类虚数.
对于物质世界的能量和质量是c类实数,暗物质世界的能量和质量是c类虚数的假设,并未发现与麦克斯韦方程组存在矛盾.
负质量、负能量电磁场相关论文有[7] [8] [9].这里特别感谢俄罗斯人民友谊大学研究人员尼古拉·特列季亚科夫(Nikolay Tretyakov)和亚历山大·特列茨基(Alexandre Terletsky),他们合著的论文《A unifying hypothesis of dark energy and dark matter: negative masses, imaginary charges and dark minus-photons》中提到负数参数形式的麦克斯韦方程组,还有暗负光子的概念.负数参数形式的麦克斯韦方程组是本章的大部分灵感来源.不同的是,在本章中负数参数变动为虚数参数.