4 复数的推广
复数的笛卡尔表示,由丹麦-挪威数学家卡斯帕尔·韦塞尔(Caspar Wessel)于1799年首次描述.目前数学体系使用的复数是不对称的,实数不包含一个单位向量.对复数进行推广,得到广义复数.广义复数与复数不同的地方是实数部分包含一个实数向量.目前数学体系使用的复数中虚数单位向量用$i$表示,这里用$k$表示实数单位向量.
图4 笛卡尔坐标系中广义复数的几何表示
Figure 4 Geometric representation of a generalized complex number in Cartesian coordinate system
图5 笛卡尔坐标系中复数的几何表示
Figure 5 Geometric representation of a complex number in Cartesian coordinate systems
已知实数轴单位向量自身相乘满足关系式$k \cdot k = k$,假设$k \cdot i$和$i \cdot i$的结果只有:实数轴单位向量$k$,实数轴单位向量的反向向量$- k$,虚数轴单位向量$i$,虚数轴单位向量的反向向量$- i$.这里不区分点积和叉积,符号$\cdot$和$\times$意义相同.假设$k \cdot i = i \cdot k$,单位向量的乘法满足交换律.
shell环境使用AWK穷举$i \cdot i$和$k \cdot i$所有可能:
| awk 'BEGIN{a[0] = "+k";a[1] = "-k";a[2] = "+i";a[3] = "-i";for(i in a){for(j in a){printf "%s\t%s\n",a[i],a[j]}} }' |
| $\begin{flalign}& +k\ \ +k \\& +k\ \ -k \\& +k\ \ +i \\& +k\ \ -i \\& -k\ \ +k \\& -k\ \ -k \\& -k\ \ +i \\& -k\ \ -i \\& +i\ \ +k \\& +i\ \ -k \\& +i\ \ +i \\& +i\ \ -i \\& -i\ \ +k \\& -i\ \ -k \\& -i\ \ +i \\& -i\ \ -i \end{flalign}$ |
笛卡尔坐标系上每一点,对应一个有序对$(a,b)$.坐标系原点$(0,0)$与点$(a,b)$组成一个有向线段,这个有向线段对应一个矢量,使用$a k +b i$表示这个矢量.$a k +b i$命名为二元数.假设每一种乘法对应一种二元数.
先考虑最普遍的情况,在乘法的两个输入参数中,实数轴的正负单位矢量视为不同的矢量,虚数轴的正负单位矢量也视为不同的矢量.同时乘法的参数是存在先后顺序的.
实数和虚数的正负单位矢量组成集合$Set\_RIU$,$Set\_RIU = \{+k,-k,+i,-i\}$,集合$Set\_RIU$内元素之间的乘法就是一种函数,输入2个变量,输出1个变量.规定:输入变量和输出变量的取值范围是一样的.输入状态有$4^2=16$种,输出状态有$4^1=4$种.下面开始统计这个函数的种类数量.按照组合数学的分步乘法计数原理,输出状态的数量是步骤的数量,输入状态的数量是每一个步骤对应方法的数量.集合$Set\_RIU$元素之间的乘法一共有${( 4^ 1)}^{( 4^2 )}=4294967296$种.这种情况下二元数有4294967296种.
为了方便理解前面提到的运算分类,下面以逻辑门中的二进制运算分类为例.集成电路的逻辑门中,可以使用布尔代数来表示.逻辑门涉及的是二进制运算.二进制运算中,输入1个变量,输出1个变量,称为一元二进制运算.二进制运算中,输入2个变量,输出1个变量,称为二元二进制运算.虽然一元和二元二进制运算的固定输出位只有一个,但输出位在不同的输入变量情况下始终占据一个位置,输出位在不同的输入变量情况下可以不同,这就导致一元和二元二进制运算的动态输出位不止一个.
一般的函数是输入多个变量输出一个变量,属于多对一的映射.如果一种新的二进制运算不同于一元和二元二进制运算,是输入多个变量输出多个变量,属于多对多的映射,这种映射可以命名为多值函数(Multi-output function).多值函数是一种新的计算模型,弥补了λ演算整体抽象不足的缺点.
二进制多值函数,输入n个变量,输出m个变量,一共有${(2^m)}^{(2^n)}$种分类.一元和二元二进制运算是一种特殊的多值函数,输入n个变量,输出1个变量,一共有${(2^1)}^{(2^n)}$种分类.一元二进制运算有${(2^1)}^{(2^1)}=4$种分类,二元二进制运算有${(2^1)}^{(2^2)}=16$种分类.
表1 一元二进制运算动态输出位
Table 1 Dynamic output bits for binary system unary operations
| A | X |
| 0 | X1 |
| 1 | X2 |
表2 一元二进制运算分类表
Table 2 Binary system unary operations classification table
| X1 | X2 | 名称 | 与、或、非门组合等价电路 |
| 0 | 0 | (A&&(!A)) | |
| 0 | 1 | buffer | A |
| 1 | 0 | not | (!A) |
| 1 | 1 | (A||(!A)) |
表3 二元二进制运算动态输出位
Table 3 Dynamic output bits for binary system binary operation
| A | B | X |
| 0 | 0 | X1 |
| 0 | 1 | X2 |
| 1 | 0 | X3 |
| 1 | 1 | X4 |
表4 二元二进制运算分类表
Table 4 Binary system binary operations classification table
| X1 | X2 | X3 | X4 | 名称 | 与、或、非门组合等价电路 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | ((A&&(!A))&&B) | |
| 0 | 0 | 0 | 1 | and | (A&&B) |
| 0 | 0 | 1 | 0 | (A&&(!B)) | |
| 0 | 0 | 1 | 1 | (A&&(A||B)) | |
| 0 | 1 | 0 | 0 | ((!A)&&B) | |
| 0 | 1 | 0 | 1 | ((A&&B)||B) | |
| 0 | 1 | 1 | 0 | xor | ((A&&(!B))||((!A)&&B)) |
| 0 | 1 | 1 | 1 | or | (A||B) |
| 1 | 0 | 0 | 0 | nor | (!(A||B)) |
| 1 | 0 | 0 | 1 | xnor | ((A&&B)||(!(A||B))) |
| 1 | 0 | 1 | 0 | (!((A&&B)||B)) | |
| 1 | 0 | 1 | 1 | (A||(!B)) | |
| 1 | 1 | 0 | 0 | (!(A&&(A||B))) | |
| 1 | 1 | 0 | 1 | ((!A)||B) | |
| 1 | 1 | 1 | 0 | nand | (!(A&&B)) |
| 1 | 1 | 1 | 1 | (A||(B||(!B))) |
美国计算机科学家克劳德·香农(Claude Shannon)在他的硕士学位论文《A symbolic analysis of relay and switching circuits》提出了布尔递归定理(Boolean Recursive Theorem).[3]该定理表明,任意n元布尔函数都可以表示为两个n-1元布尔函数的组合.
任意一种算法,只要属于离散数学范畴,都可以使用二进制表示.任意一种算法,都可以使用多值函数描述,只要属于离散数学范畴,都可以二进制多值函数描述.二进制多值函数,输入n个变量,输出m个变量,可以分解成m个n元布尔函数.每个n元布尔函数都可以使用n-1元布尔函数递归表示,这意味着n元布尔函数可以使用一元二进制运算和二元二进制运算表示.一元二进制运算和二元二进制运算都可以用与门(AND)、或门(OR)和非门(NOT)的组合电路表示,或者使用单独的或非门(NOR)组合电路表示,或者使用单独的与非门(NAND)组合电路表示.因此,任意一种算法,只要它属于用离散数学范畴,都可以使用与门、或门、非门组合电路表示,可以用CPU或者GPU来执行运算.
任意两种算法,只要它们的输入输出状态相同,那么这两种算法是等价的.等价的算法组成一个算法的集合,这个集合中必然存在一个或者多个最短路径的算法.
最短路径的算法,如果使用与门、或门、非门组合电路表示,意味着使用逻辑门的数量最少,从物理层面来看,这使CPU或者GPU的运算速度最快,运算时间最短,功耗最低.
排除量子力学层面随机性的影响,算法的等价原则意味着人脑和计算机程序没有什么不同,人脑就是一种图灵机.
目前,最先进的人工智能大语言模型的输入参数达到了千亿规模.大语言模型的运算依赖大量的高端显卡,导致全球高端显卡供不应求.
对于一个人工智能算法,找到这个算法的最短路径的二进制运算表示,可以大幅度降低人工智能的算力需求.
以上,是对于运算分类和新的计算模型多值函数的介绍.存在大量的超出我们常识的运算规则,使用多值函数这种计算模型可以采用暴力搜索的策略寻找需要的运算规则.
考虑特殊的情况,在乘法的两个输入参数中,负单位矢量前面的因子$-1$可以提取出来,因子$-1$与单位向量之间的乘法满足乘法的结合律.
只考虑单位向量乘积$k \cdot k$、$k \cdot i$、$i \cdot k$和$i \cdot i$,影响乘法分类的有4种单位向量乘法,每一种单位向量乘积都有4种可能,这种情况下二元数有$4^4 = 256$种.
把$k \cdot i$与$i \cdot k$视作相等的,影响乘法分类的有3种单位向量乘法,每一种单位向量乘积都有4种可能,这种情况下二元数有$4^3 = 64$种.
定义$k·k = k$,把$k \cdot i$与$i \cdot k$视作相等,影响乘法分类的有2种单位向量乘法,每一种单位向量乘积都有4种可能,这种情况下二元数变成命名为广义复数,广义复数有$4^2 = 16$种.
表5 广义复数分类表
Table 5 Generalized complex number classification table
| $\mathrm{Common}[k·k]$ | $\mathrm{Common}[i·i]$ | $\mathrm{Common}[k·i]$ | $i$类型 | |
| 1 | $+1$ | $+1$ | $+1$ | a类虚数 |
| 2 | $+1$ | $+1$ | $-1$ | b类虚数 |
| 3 | $+1$ | $+1$ | $+i$ | 双曲虚数 |
| 4 | $+1$ | $+1$ | $-i$ | 对双曲虚数 |
| 5 | $+1$ | $-1$ | $+1$ | c类虚数 |
| 6 | $+1$ | $-1$ | $-1$ | d类虚数 |
| 7 | $+1$ | $-1$ | $+i$ | 虚数 |
| 8 | $+1$ | $-1$ | $-i$ | 对虚数 |
| 9 | $+1$ | $+i$ | $+1$ | |
| 10 | $+1$ | $+i$ | $-1$ | |
| 11 | $+1$ | $+i$ | $+i$ | |
| 12 | $+1$ | $+i$ | $-i$ | |
| 13 | $+1$ | $-i$ | $+1$ | |
| 14 | $+1$ | $-i$ | $-1$ | |
| 15 | $+1$ | $-i$ | $+i$ | |
| 16 | $+1$ | $-i$ | $-i$ |
| $k·k$ | $i·i$ | $k·i$ | $\mathrm{Re}[k·k]$ | $\mathrm{Re}[i·i]$ | $\mathrm{Re}[k·i]$ | $z$类型 | |
| 1 | $+k$ | $+k$ | $+k$ | $+1$ | $+1$ | $+1$ | a类复数 |
| 2 | $+k$ | $+k$ | $-k$ | $+1$ | $+1$ | $-1$ | b类复数 |
| 3 | $+k$ | $+k$ | $+i$ | $+1$ | $+1$ | 0 | 双曲复数 |
| 4 | $+k$ | $+k$ | $-i$ | $+1$ | $+1$ | 0 | 对双曲复数 |
| 5 | $+k$ | $-k$ | $+k$ | $+1$ | $-1$ | $+1$ | c类复数 |
| 6 | $+k$ | $-k$ | $-k$ | $+1$ | $-1$ | $-1$ | d类复数 |
| 7 | $+k$ | $-k$ | $+i$ | $+1$ | $-1$ | $0$ | 复数 |
| 8 | $+k$ | $-k$ | $-i$ | $+1$ | $-1$ | $0$ | 对复数 |
| 9 | $+k$ | $+i$ | $+k$ | $+1$ | $0$ | $+1$ | |
| 10 | $+k$ | $+i$ | $-k$ | $+1$ | $0$ | $-1$ | |
| 11 | $+k$ | $+i$ | $+i$ | $+1$ | $0$ | $0$ | |
| 12 | $+k$ | $+i$ | $-i$ | $+1$ | $0$ | $0$ | |
| 13 | $+k$ | $-i$ | $+k$ | $+1$ | $0$ | $+1$ | |
| 14 | $+k$ | $-i$ | $-k$ | $+1$ | $0$ | $-1$ | |
| 15 | $+k$ | $-i$ | $+i$ | $+1$ | $0$ | $0$ | |
| 16 | $+k$ | $-i$ | $-i$ | $+1$ | $0$ | $0$ |
上面的表格中,实数单位向量$k$,广义虚数单位向量$i$,向量乘积$\cdot$,广义复数$z = a k + b i$($a$,$b$为比例系数),$\mathrm{Common} [z]$:复数$z$代入$k = 1$,$\mathrm{Re}[z]$:复数$z$的实部
在已知$k·k$、$i·i$、$k·i$取值的情况下,仿照复数运算的规则,对广义复数的运算进行变换推导,可得到和复数四则运算相似的广义复数四则运算法则.
表6 复数、双曲复数、a类复数、b类复数、c类复数、d类复数的四则运算法则比较
Table 6 Comparison of four arithmetic rules for complex numbers, hyperbolic complex numbers, class a complex numbers, class b complex numbers, class c complex numbers, and class d complex numbers
| 复数 | |
| 加法 |
$$( a k + b i )+ ( c k + d i ) = ( a + c ) k +( b + d ) i$$ |
| 减法 |
$$( a k + b i )- ( c k + d i ) = ( a - c ) k +( b - d ) i$$ |
| 乘法 |
$$( a k + b i )\times ( c k + d i ) = ( a c - b d) k + ( b c + a d ) i$$ |
| 除法 |
$$( a k + b i) \div ( c k + d i ) = \frac{a c + bd}{c^{2} + d^{2}} k + \frac{( b c - a d )}{c^{2} +d^{2}} i \ ,\ ( c\neq 0 ) \land ( d\neq 0 )$$ |
| 双曲复数 | |
| 加法 |
$$( a k + b i )+ ( c k + d i ) = ( a + c ) k +( b + d ) i$$ |
| 减法 |
$$( a k + b i )- ( c k + d i ) = ( a - c ) k +( b - d ) i$$ |
| 乘法 |
$$( a k + b i )\times ( c k + d i ) = ( a c + b d) k + ( b c + a d ) i$$ |
| 除法 |
$$( a k + b i )\div ( c k + d i ) = \frac{a c - b d}{c^{2} - d^{2}} k +\frac{( b c - a d )}{c^{2} - d^{2}} i \ ,\ ( c\neq 0) \land ( c^2-d^2\neq 0 )$$ |
| a类复数 | |
| 加法 |
$$( a k + b i )+ ( c k + d i ) = ( a + c ) k +( b + d ) i$$ |
| 减法 |
$$( a k + b i )- ( c k + d i ) = ( a - c ) k +( b - d ) i$$ |
| 乘法 |
$$( a k + b i )\times ( c k + d i ) = ( a c + b c + a d + b d ) k$$ |
| 除法 |
$$a k \div ( c k + d i ) = \frac{a}{c + d} k \ ,\ c+d\neq 0$$ |
| b类复数 | |
| 加法 |
$$( a k + b i )+ ( c k + d i ) = ( a + c ) k +( b + d ) i$$ |
| 减法 |
$$( a k + b i )- ( c k + d i ) = ( a - c ) k +( b - d ) i$$ |
| 乘法 |
$$( a k + b i )\times ( c k + d i ) = ( a c - b c - a d + b d ) k$$ |
| 除法 |
$$a k \div ( c k + d i ) = \frac{a}{c - d} k \ ,\ c-d\neq 0$$ |
| c类复数 | |
| 加法 |
$$( a k + b i )+ ( c k + d i ) = ( a + c ) k +( b + d ) i$$ |
| 减法 |
$$( a k + b i )- ( c k + d i ) = ( a - c ) k +( b - d ) i$$ |
| 乘法 |
$$( a k + b i )\times ( c k + d i ) = ( a c + b c + a d - b d ) k$$ |
| 除法 |
$$a k \div ( c k + d i ) = \frac{a}{c + d} k \ ,\ c^2-d^2\neq 0$$ |
| d类复数 | |
| 加法 |
$$( a k + b i )+ ( c k + d i ) = ( a + c ) k +( b + d ) i$$ |
| 减法 |
$$( a k + b i )- ( c k + d i ) = ( a - c ) k +( b - d ) i$$ |
| 乘法 |
$$( a k + b i )\times ( c k + d i ) = ( a c - b c - a d - b d ) k$$ |
| 除法 |
$$a k \div ( c k + d i ) = \frac{a}{c - d} k \ ,\ c^2-d^2\neq 0$$ |
注:复数、双曲复数乘法的逆运算存在唯一解,a类复数、b类复数、c类复数、d类复数乘法的逆运算存在无数组解,这里定义的除法是乘法的逆运算,当且仅当商数是一个虚部为0的广义复数(商数是一个实数)的情况下.
根据量子涨落原理,空间生成了由粒子和反粒子组成的虚粒子对.虚粒子对数量为2.
引力势能是指物体因为大质量物体的万有引力而具有的势能,其大小与其到大质量物体的距离有关.7
$$\begin{equation*}E_\mathrm{p} = - \frac{ GMm}{r} \tag{4 - 1}\end{equation*}$$
其中$G$为万有引力常数,$M$、$m$分别为两物体质量,$r$为两者距离.
前面1 - 25式、1 - 30式给出静止物质与暗物质的静质量对应的相对论能量分别为:
$E_\mathrm{m} = m_{00} c^{2} k$ $E_\mathrm{d} = m_{00} c^{2} i$
假设物质和另一种物质同时诞生,所有物质和另一种物质被均匀分为两部分,并且相隔一段距离.对于每一个独立的部分,总二阶能量是一个可以取正取负取0的实数.假设二阶能量和存在守恒定律,初始动能为0,势能不为0.二阶能量是势能和质量对应能量平方和.
$$\begin{equation*}\left(-\frac{G(a k+b i)^2}{L}\right)^2+\left(a c^2 k\right)^2+\left(b c^2 i\right)^2=(E k)^2 \tag{4 - 2}\end{equation*}$$
上式中,$E$是能量值,为实数.$a$是物质的质量数总量的一半,$b$是另一种物质的质量数总量的一半,$L$是两部分的距离,$c$是光速,$G$是万有引力常数,$k$是实数单位向量,$i$是虚数单位向量.
《老子》,又名《道德经》,是先秦时期的古籍,相传为春秋末期思想家老子所著.
马王堆汉墓帛书《老子》有云:"天下之物生于有,有生于无.道生一,一生二,二生三,三生万物.万物负阴而抱阳,冲气以为和."
从中国古代哲学思想中获得启发,假设质量诞生于虚无,上式中机械能与静质量对应的能量的二阶能量的总和为0.方程变为:
$$\begin{equation*}\left(-\frac{G(a k+b i)^2}{L}\right)^2+\left(a c^2 k\right)^2+\left(b c^2 i\right)^2 = 0 \tag{4 - 3}\end{equation*}$$
4 - 3式中$L^2$存在解的广义复数只有a类复数、b类复数、c类复数和d类复数.同时得出四种情况下$L^2$相关的等式
$$\begin{equation*} L^2=-\frac{G^2 (a+b)^4}{c^4 \left(a^2+b^2\right)} \tag{4 - 4}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*} L^2=-\frac{G^2 (a-b)^4}{c^4 \left(a^2+b^2\right)} \tag{4 - 5}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*} L^2=-\frac{G^2 \left(a^4+4 a^3 b+6 a^2 b^2-4 a b^3+b^4\right)}{c^4 \left(a^2-b^2\right)} \tag{4 - 6}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*} L^2=-\frac{G^2 \left(a^4-4 a^3 b+6 a^2 b^2+4 a b^3+b^4\right)}{c^4 \left(a^2-b^2\right)} \tag{4 - 7}\end{equation*}$$
c类虚数对应于一种物质的质量数,先命名这种物质为暗物质.相应的,a类虚数、b类虚数、d类虚数对应的其他物质分别命名为另物质、对物质、远物质.
a类复数:物质、另物质质量数,物质与物质相互吸引,另物质与另物质相互吸引,另物质与物质相互吸引.另物质与物质同质同构或同质异构,另物质可以保留在可观测宇宙.
b类复数:物质、对物质质量数,物质与物质相互吸引,对物质与对物质相互吸引,对物质与物质相互排斥.对物质远离可观测宇宙.
c类复数:物质、暗物质质量数,物质与物质相互吸引,暗物质与暗物质相互排斥,暗物质与物质相互吸引.暗物质可以保留在可观测宇宙.
d类复数:物质、远物质质量数,物质与物质相互吸引,远物质与远物质相互排斥,远物质与物质相互排斥.远物质远离可观测宇宙.
令$L^2 >0 , G^2 > 0 , c^4 > 0$,上面四个等式中前两个等式左边大于0,右边小于等于0,无法成立.第3个和第4个等式能够成立.这个时候4 - 3式中$L^2$存在解的广义复数只有c类复数和d类复数.
假设质量诞生于虚无,物质的虚粒子对的反粒子,要么是暗物质要么是远物质,只有这两种可能.
假设c类复数对应的暗物质和天文学上暗物质是同一个概念.目前已经发现暗物质存在的证据,如下图所示.
图6 子弹星系团 来源:NASA钱德拉X射线天文台 8
Figure 6 Bullet Cluster Source: NASA Chandra X-ray Observatory 8
子弹星系团(Bullet Cluster)由两个碰撞的星系团组成.
第一张图是星系可见光图像.
第二张图是气体X射线图像叠加在星系可见光图像上.
第三张图是通过引力透镜计算物质分布叠加在星系可见光图像上.
第四张图是气体X射线图像和通过引力透镜计算物质分布叠加在星系可见光图像上.
子弹星团的引力透镜研究为暗物质的存在提供了迄今为止最好的证据.
综合上面的分析,在质量诞生于虚无、宇宙二阶能量总和为0和量子涨落虚粒子对数量为2的假设条件下,可观测宇宙中能够与物质组成虚粒子对的只有暗物质.