9 暗物质星系模型
美国费米实验室的软件工程师拉尔夫·凯勒(Ralf Kaehler)给出一个星系的暗物质晕模拟图:
图14 暗物质晕模拟图 来源:30
Figure 14 The simulation image of the dark matter halo Source: 30
接下来,基于前面给出的力学假设,对星系的分布作动力学分析.
在几何学中,凸均匀堆砌,又称三维凸均匀蜂巢体(Convex uniform honeycomb),用不重叠的凸均匀多面体单元填充三维欧几里得空间.用单一正多面体填满整个三维空间,而且没有缝隙.三维的正多面体只有五种,正四面体、立方体、正八面体、正十二面体和正二十面体.其中只有立方体可以单独铺满三维空间.另外均匀多面体中,截角八面体、三棱柱、六棱柱也可以单独铺满三维空间.31
考虑凸均匀堆砌是为了简化宇宙分析模型,将一个复杂的宇宙三维空间结构拆解为一个个单元,每一个单元都是相似的.将一个连续化,整体化的对象转变为离散化、量子化、可重复的对象.研究宇宙拆解成研究宇宙的一个基本单元,实现研究对象的转化.同时基于宇宙基本单元的分析结论,可以通过数字结合单元的属性,进而推广到整个宇宙范围.这属于离散数学与自然数的应用原理.例如,指数运算、对数运算、根式运算可以用转换成只包含加减乘除的运算,加减乘除又可以转化为电子计算机中的二进制运算.将复杂的问题使用递归降解的方法转化为相对容易的基础问题,实现递归运算.自然数在数学中的存在重要地位,可以参见中国科学院数学研究所罗声雄教授的著作《数学的魅力——初等数学概念演绎》[12].
λ演算(lambda calculus,λ-calculus)是一套从数学逻辑中发展,以变量绑定和替换的规则,来研究函数如何抽象化定义、函数如何被应用以及递归的形式系统.它由美国数学家阿隆佐·邱奇(Alonzo Church)在20世纪30年代首次发表.32图灵机(Turing machine),是英国数学家艾伦·图灵(Alan Mathison Turing)于1936年提出的一种将人的计算行为抽象化的数学逻辑机,其更抽象的意义为一种计算模型,可以看作等价于任何有限逻辑数学过程的终极强大逻辑机器.33图灵机与λ演算计算模型能力是等价的.同样作为计算模型,图灵机把控制部分和数据部分独立出来,λ演算的侧重点是输入数据的数据流向和迭代关系.
以斐波那契数计算为例,Racket环境执行代码:
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#lang racket |
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图15 代码解析运行流程图
Figure 15 Code parsing and running flow chart
上图中的抽象语法树(Abstract Syntax Tree,AST)采用递归的方式组成,正向拆解命题.图中运算路径的节点的跳转,组成一个单程路径,逆向合成命题.抽象语法树,可以看成由多个λ演算节点组合构成;单程路径,可以看做图灵机运算部分的计算堆栈内存.
假设宇宙是由许多相同的正方体单元组成,每个正方体是一个星系空间.正方体中心是一个中心天体,不考虑事件视界和相对论效应.除了中心天体,其他恒星、行星、星际物质等质量可以忽略不计.中心天体周围有暗物质晕.假设星际间没有暗物质流体.沿着相邻的8个中心天体的中心重新切割得到下图:
图16 相邻宇宙单元示意图
Figure 16 Schematic diagram of adjacent cosmic units
约定相邻的星系之间的距离是$r_\mathrm{L}$,对于每一个星系,物质总质量为$M_\mathrm{m}$,暗物质总质量为$M_\mathrm{d}$,相邻的星系之间的重力用$F_\mathrm{c}$表示.$M_\mathrm{d}$与$M_\mathrm{m}$的比值为$k_\mathrm{d}$.
$$\begin{equation*}F_\mathrm{c} = \frac{G ( M_\mathrm{m} k + M_\mathrm{d} i )^{2}}{r_\mathrm{L}^{2}} \tag{9 - 1}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}M_\mathrm{d} = k_\mathrm{d} M_\mathrm{m} \tag{9 - 2}\end{equation*}$$
把c类复数乘法运算规则、9 - 2式代入9 - 1式可得
$$\begin{equation*}F_\mathrm{c} = \frac{G M_\mathrm{m}^{2}}{r_\mathrm{L}^{2}} ( 1 + 2 k_\mathrm{d} - k_\mathrm{d}^{2} ) k \tag{9 - 3}\end{equation*}$$
考虑上式系数$( 1 + 2 k_\mathrm{d} - k_\mathrm{d}^{2} )$,令
$$\begin{equation*}( 1 + 2 k_\mathrm{d} - k_\mathrm{d}^{2} ) = 0 \tag{9 - 4}\end{equation*}$$
上面的方程有两个解,代数解和数值解分别为
$\{ \{ k_\mathrm{d} \rightarrow 1 - \sqrt{2} \} , \{ k_\mathrm{d} \rightarrow 1 + \sqrt{2} \} \}\ ,\ \{ \{ k_\mathrm{d} \rightarrow - 0.4142 \} , \{ k_\mathrm{d} \rightarrow 2.414 \} \}$
第一个解是负数,$k_\mathrm{d}$按照约定是正数或者0,故舍去.第二个解满足要求,是数学中的白银分割率.
当$k_\mathrm{d} = 1 + \sqrt{2}$时,相邻的星系之间的重力$F_\mathrm{c}$等于0.对上面的$r_\mathrm{L}$更改定义为任意两个星系之间的距离,可得,当$k_\mathrm{d} = 1 + \sqrt{2}$时,两个星系之间的重力$F_\mathrm{c}$等于0.绘制系数$\left( 1 + 2 k_\mathrm{d} - k_\mathrm{d}^{2} \right)$的函数图像:
图17 系数$\left( 1 + 2 k_\mathrm{d} - k_\mathrm{d}^{2} \right)$的函数图像
Figure 17 Graph of the function of the coefficient$\left( 1 + 2 k_\mathrm{d} - k_\mathrm{d}^{2} \right)$
假设星系的速度都是0,可以得出:
当$0 ≤ k_\mathrm{d} < 1 + \sqrt{2}$时,宇宙尺寸是收缩的.
当$k_\mathrm{d} = 1 + \sqrt{2}$时,宇宙尺寸保持不变.
当$k_\mathrm{d} > 1 + \sqrt{2}$时,宇宙尺寸是膨胀的.
普朗克卫星的宇宙微波背景辐射观测表明,在大尺度的观测下,宇宙是均质与各向同性的.暗物质与暗物质之间的斥力可以对宇宙均质与各向同性作出合理的解释.
目前的天文观测表明,宇宙是膨胀的,而且是加速膨胀.
在物理宇宙学里,哈勃-勒梅特定律(Hubble-Lemaître law)指出遥远星系的退行速度与它们和地球的距离成正比.这条定律原先称为哈勃定律(Hubble's law),以证实者美国天文学家埃德温·哈勃(Edwin Hubble)的名字命名;2018年10月经国际天文联合会表决通过更改为现名,以纪念更早发现宇宙膨胀的比利时天文学家乔治·勒梅特(Georges Lemaître).34
以方程表示:
$$\begin{equation*}v = H_{0} D \tag{9 - 5}\end{equation*}$$
其中,$v$是由红移现象测得的星系远离速率,$H_{0}$是哈勃常数,$D$是星系与观察者之间的距离.
多普勒效应(Doppler effect)是波源和观察者有相对运动时,观察者接收到波的频率与波源发出的频率并不相同的现象.远方疾驶过来的火车鸣笛声变得尖细(即频率变高,波长变短),而离我们而去的火车鸣笛声变得低沉(即频率变低,波长变长),就是多普勒效应的现象.35
红移(Redshift)是指电磁辐射由于某种原因导致波长增加、频率降低的现象,在可见光波段,表现为光谱的谱线朝红端移动了一段距离.相反的,电磁辐射的波长变短、频率升高的现象则被称为蓝移.36如果一个光源是远离观测者而去,那么会发生红移($z > 0$),当然,如果光源是朝向观测者移动,便会产生蓝移($z < 0$).这对所有的电磁波都适用,而且可以用多普勒效应解释.当然的结果是,这种形式的红移被称为多普勒红移.如果光源远离观测者的速度是$v$,忽略掉相对论的效应,红移可以表示为:
$$\begin{equation*}z = \frac{v}{c} \tag{9 - 6}\end{equation*}$$
更完整的多普勒红移需要考虑相对论的效应,特别是在速度接近光速的情况下.简单地说,物体的运动接近光速时需要将狭义相对论介绍的时间膨胀因素洛伦兹变换因子$\gamma$引入经典的多普勒公式中,改进后的相对论性多普勒效应公式为
$$\begin{equation*}z = ( 1 + \frac{v}{c} ) \gamma - 1 \tag{9 - 7}\end{equation*}$$
当$v ≪ c$时,$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}≈ 1$ ,9 - 7式变成9 - 6式.
把9 - 6式代入9 - 5式
$$\begin{equation*}z = \frac{H_{0} D}{c} \tag{9 - 8}\end{equation*}$$
比较9 - 5式和9 - 8式,相差一个1/c系数.可得:当$v ≪ c$时,宇宙学红移与距离关系图与宇宙学退行速度与距离关系图是相似的.
日本国立天文台下属的夏威夷天文台,拥有8.2米口径昴星团望远镜(Subaru Telescope).昴星团望远镜的主镜是世界上最大的单片镜之一.37相关的超新星宇宙学调查团队在2019年一次科研讨论会上展示了一个演示文稿38,演示文稿文件中有一张图展示宇宙学红移与距离的关系.这张图是目前唯一能找到的宇宙学红移与距离关系图,其他的都是距离模数或视星等与宇宙红移的关系图.
图18 宇宙学红移与距离的关系图 来源:38
Figure 18 Diagram of the relationship between cosmological redshift and distance Source: 38
图19 宇宙学退行速度与距离关系图
Figure 19 Diagram of the relationship between cosmological recessional velocity and distance
对宇宙学红移与距离的关系图作镜像翻转、旋转变换可得宇宙学退行速度与距离关系图.
曲线的斜率是宇宙学退行速度的导数,也就是类似于加速度.平常的我们使用的加速度是速度关于时间的导数,这里的是曲线的斜率是速度对于空间尺度的导数.在向量微积分中,有一个概念与之对应,就是速度的梯度.
当距离比较小的时候,曲线接近一条直线.直线的斜率就是哈勃常数$H_{0}$.
距离的增加意味着时间的前移.越早的宇宙,速度相对于空间的梯度越大(斜率越大).越晚的宇宙,速度相对于空间的梯度越小(斜率越小).在假设空间不会膨胀的条件下,空间的长度正比于时间的长度.越早的宇宙,退行的加速度(速度相对于时间的导数)越大.越晚的宇宙,退行的加速度越小.宇宙是加速膨胀的,而且加速膨胀有逐渐放缓的趋势.膨胀的速度一直在增加,膨胀的加速度一直在减小.如果膨胀的加速度一直在增加,上面的曲线应该是凸曲线,而不是凹曲线.
宇宙膨胀基本数学特征:
1、宇宙膨胀的速度是正数,速度随着时间而增大.
2、宇宙膨胀的加速度是正数,加速度随着时间而减小.
因为光速是恒定的,到达地球的光线存在延时,甚至超过数亿年.GN-z11是一个在大熊座发现的高红移星系,为目前已证实的可观测宇宙中最古老、最遥远的星系之一.39 40GN-z11的光谱红移值为z = 11.09.[13]
把z = 11.09代入9 - 7式,解得
$v = 0.98641 c$
假设上图是一个斜率是$H_{0}$的直线,已知:
$H_{0} = 73.4 \left( km / s \right) / Mpc = 2.37873 \times 10^{- 18} s^{- 1}$
$c = 299792458 m / s$
9 - 5式变化可得
$$\begin{equation*}D = \frac{v}{H_{0}} \tag{9 - 9}\end{equation*}$$
把上面的数据代入,求得GN-z11与我们的距离$D = 131.404$亿光年.我们看到的光线来131.404亿年之前.考虑实际曲线的斜率比$H_{0}$大,精确的距离应该小于131.404亿光年.精确的光线发出时间也晚于131.404亿年前.此外,GN-z11相对于我们的退行速度是0.98641倍光速.
由1 - 1、1 - 2式可得相对论能量
$$\begin{equation*}E = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} c^{2} \tag{9 - 10}\end{equation*}$$
代入$v / c = 0.98641$,设GN-z11在速度为$v$的时候相对论能量是$E_\mathrm{v}$,在速度为0的时候相对论能量是$E_{0}$.
$E_\mathrm{v} = 6.08636 m_{0} c^{2}$ $E_{0} = m_{0} c^{2}$
增加的能量 $∆ E = E_\mathrm{v} - E_{0} = 5.08636 m_{0} c^{2}$
代入$c$的数值,可知,这是非常巨大的能量.
易得:当$v$接近$c$的时候,远离我们的星系增加的能量$∆ E$趋于无穷大.
基于宇宙总能量是有限的假设,在这里有理由怀疑,上面求解星系增加能量$∆ E$的计算过程中一定在某个地方错了.
对于这么巨大的能量,目前主流认可的假说是来自空间膨胀和暗能量.宇宙诞生在一个大爆炸中,最初的宇宙来自一个奇点.
目前根据普朗克卫星对于宇宙微波背景辐射观测结果,结合宇宙大爆炸的假说,得出宇宙的年龄是137.87±0.20亿年.这和GN-z11发出光线的时间比较接近,难道这么容易就可以看到宇宙的边缘吗?这里持怀疑态度.
詹姆斯·韦伯空间望远镜(James Webb Space Telescope)于2021年12月升空.詹姆斯·韦伯空间望远镜由于各种原因,导致项目严重超支,发射时间数次推迟,最新预估总耗费高达100亿美元.它旨在提供比哈勃空间望远镜更高的红外分辨率和灵敏度,观察物体的亮度比哈勃望远镜探测到的最微弱物体的亮度要低100倍.这将使天文学和宇宙学领域的广泛研究成为可能,例如对宇宙中一些最古老和最遥远的物体和事件(包括第一颗恒星和形成的第一个星系)进行高达$z≈20$的红移观测,以及潜在适合居住的太阳系外行星详细大气特征.41
联合9 - 5、9 - 7式可得
$$\begin{equation*}D=\frac{c (z^2+2 z)}{H_0 \left(z^2+2 z+2\right)} \tag{9 - 11}\end{equation*}$$
上式表明距离$D$是一个与红移值$z$相关的函数,在$z$大于0的区间,该函数是一个递增函数.
当$z$趋于无穷大时,距离$D$取得最大值
$$\begin{equation*}\lim_{z\to \infty }\frac{c (z^2+2 z)}{H_0 \left(z^2+2 z+2\right)}=\frac{c}{H_0} \tag{9 - 12}\end{equation*}$$
代入$c$和$H_0$的数值
$\displaystyle{\frac{c}{H_0}}=133.214$亿光年
前面$H_0$的数值来自最新Ia型超新星的观测数据[14],普朗克卫星报告中的$H_0$的数值与前者有所不同,等于$67.66 (km/s) / Mpc$[10].
代入$c$和普朗克卫星报告中$H_0$的数值
$\displaystyle{\frac{c}{H_0}}=144.516$亿光年
按照前面的方法,粗略计算,以最新Ia型超新星的观测数据给出的$H_0$的数值为准,假如韦伯望远镜探测到$z≈20$的星系,在空间不会膨胀的假设下,该星系距离我们大约132.611亿光年.前面得到,当光线的红移值趋于无穷大时,对应的星系极限距离是133.214亿光年,这个距离小于目前估计的宇宙年龄137.87亿年对应的距离137.87亿光年.也就是说,无论韦伯望远镜观测能力有多强,都无法观测到超过宇宙年龄的星系.
以普朗克卫星报告中的$H_0$的数值为准,假如韦伯望远镜探测到$z≈20$的星系,在空间不会膨胀的假设下,该星系距离我们大约143.862亿光年.这个星系的年龄大于目前估计宇宙年龄137.87亿年,足以撼动宇宙大爆炸假说的可信度.第一颗恒星和形成的第一个星系的概念将不复存在.
大爆炸(Big Bang),是描述宇宙的起源与演化的宇宙学模型,这一模型得到了当今科学研究和观测最广泛且最精确的支持.宇宙学家通常所指的大爆炸观点为:宇宙是在过去有限的时间之前,由一个密度极大且温度极高的太初状态演变而来的.大爆炸这一模型的框架基于爱因斯坦的广义相对论,又在场方程的求解上作出了一定的简化(例如宇宙学原理假设空间的均匀性和各向同性).1922年,俄罗斯物理学家亚历山大·弗里德曼(Alexander Friedmann)用广义相对论描述了流体,从而给出了这一模型的场方程.比利时天体物理学乔治·勒梅特(Georges Lemaître)在1927年首次指出,膨胀的宇宙可以追溯到一个起源的单点,他称之为"原始原子".1929年,爱德温·哈勃(Edwin Hubble)透过观测发现,从地球到达遥远星系的距离正比于这些星系的红移,从而推导出宇宙膨胀的观点.1927年时乔治·勒梅特通过求解弗里德曼方程已经在理论上提出了同样的观点,这个解后来被称作弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度规(Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker).哈勃的观测表明,所有遥远的星系和星系团在视线速度上都在远离我们这一观察点,并且距离越远退行视速度越大.如果当前星系和星团间彼此的距离在不断增大,则说明它们在过去曾经距离很近.从这一观点物理学家进一步推测,在过去宇宙曾经处于一个密度极高且温度极高的状态.英国天文学家弗雷德·霍伊尔(Fred Hoyle)在1949年3月BBC电台广播的一次演讲中创造了"大爆炸"一词,说:"这些理论是基于这样一个假设,即宇宙中的所有物质都是在一个在遥远过去的某个特定时间的大爆炸中诞生."1964年发现的宇宙微波背景辐射是支持大爆炸确实发生的重要证据,特别是当测得其频谱从而绘制出它的黑体辐射曲线之后,大多数科学家都开始相信大爆炸理论了.大爆炸理论为广泛的观测现象提供了全面的解释,包括轻元素的丰度、宇宙微波背景辐射、大尺度结构和哈勃定律.42 43
图20 宇宙时间线 来源:44
Figure 20 Timeline of the Universe Source: 44
超新星(Supernova)是某些恒星在演化接近末期时经历的一种剧烈爆炸.这种爆炸都极其明亮,过程中所突发的电磁辐射经常能够照亮其所在的整个星系,并可能持续几周至几个月甚至几年才会逐渐衰减.而在此期间,一颗超新星所释放的辐射能量可以与太阳在其一生中辐射能量的总和相当.天文学家根据超新星的光变曲线和光谱中出现的不同化学元素的吸收线对超新星进行分类.其中Ia型超新星爆发被认为是当双星系统中的白矮星从其伴星吸积了足够多的物质,使其质量接近钱德拉塞卡极限(Chandrasekhar Limit)时发生的.此时白矮星变得不稳定,温度和密度的增高使碳和氧转化为镍-56,触发了热核爆炸.因为Ia型超新星总是具有接近钱德拉塞卡极限的质量(大约1.4个太阳质量),它们输出的最大能量值是相同的.天空中Ia型超新星的亮度,会超过它的星系中其他恒星亮度的总和.它大约比太阳亮45亿倍,通过天文望远镜,我们可以在非常遥远的星系中看到它们,这就使Ia型超新星成为测量距离的理想工具,我们也称之为"标准烛光".45 46 47 [15] [16]
高红移超新星搜索队(High-z Supernova Search Team)是一个国际宇宙学合作项目,用Ia型超新星来描述宇宙膨胀.该小组于1994年由澳大利亚天文学家布莱恩·施密特(Brian Schmidt)以及美国天文学尼古拉斯·桑契夫(Nicholas Suntzeff)共同创建.小组囊括了美国、欧洲、澳大利亚和智利的大约20位天文学家.超新星宇宙学计划(Supernova Cosmology Project)是利用来自Ia型超新星红移的数据确定加速宇宙的可能性并因此确定正宇宙学常数的两个研究团队之一.该项目由伯克利实验室的索尔·珀尔马特(Saul Perlmutter)领导,成员来自澳大利亚、智利、法国、葡萄牙、西班牙、瑞典、英国和美国.在1998年,两个团队提供了证据,证明宇宙的膨胀根本没有放缓,实际上正在加速.48 49
宇宙加速膨胀(Accelerating expansion of the universe)是宇宙的膨胀速度越来越快的现象.在过去数年中,从各方面独立观测得到的结果,证实了宇宙加速膨胀的正确性,这包括宇宙微波背景辐射、可观测宇宙的大尺度结构、对于超新星更精确的观测量、星系团的X射线性质.50
暗能量(Dark energy)是某种作用于时空结构本身的能量,并且是种均匀的负压力,会导致时空结构膨胀.它存在的第一个观测证据来自对超新星的测量,这表明宇宙不会以恒定的速度膨胀;相反,宇宙的膨胀正在加速.美国理论物理学家阿兰·古斯(Alan Guth)、俄罗斯理论物理学家安德烈·林德(Andrei Linde)、俄罗斯天体物理学家阿列克谢·斯塔罗宾斯基(Alexei Starobinsky)在1979-1981年提出,在概念上类似于暗能量的负压场可以在早期宇宙中推动宇宙膨胀.膨胀假设某种排斥力,在性质上类似于暗能量,导致宇宙在大爆炸之后稍稍发生了巨大的指数膨胀.这种膨胀是当前大多数大爆炸模型的基本特征.美国理论宇宙学家麦可·特纳(Michael Turner)在1998年提出了暗能量(Dark energy)这一术语.暗能量假说是当今对宇宙加速膨胀的观测结果的解释中最为流行的一种.在宇宙标准模型中,暗能量占据宇宙68.9%的质能.51
宇宙微波背景辐射(Cosmic Microwave Background,CMB,CMBR)是来自宇宙空间背景上的各向同性的微波辐射,也称为微波背景辐射.1965年,美国射电天文学家阿诺·彭齐亚斯(Arno Penzias)和美国射电天文学罗伯特·威尔逊(Robert Wilson)在贝尔实验室(Bell Telephone Laboratories)一起研究用于射电天文观测超灵敏低温微波接收器.在对霍姆德尔喇叭天线(Holmdel Horn Antenna)进行测试和实验时,他们遇到了他们无法解释的无线电噪声.它的能量远远低于银河系发出的辐射,而且是各向同性的,所以他们认为他们的仪器受到了地面来源的干扰.在排除了包括天线上的鸽子粪便在内的所有潜在噪声源后,噪声仍然存在.阿诺·彭齐亚斯联系了美国物理学家罗伯特·迪克(Robert Dicke),他建议将其解释为宇宙微波背景辐射(CMB),即大爆炸的黑体辐射残留.于是他们在《天体物理学报》上以《在4080兆赫上额外天线温度的测量》为题发表论文正式宣布了这个发现.CMB的测量使膨胀的大爆炸理论成为标准宇宙学模型.1960年代中期CMB的发现减少了学术界对稳态理论等替代方案的兴趣.后来人们在不同波段上对微波背景辐射做了大量的测量和详细的研究,发现它在一个相当宽的波段范围内良好地符合黑体辐射谱,对应温度大约为2.7K(近似为3K).宇宙微波背景辐射和宇宙学红移-距离的关系一同被视为大爆炸理论最好的证据.利用传统的光学望远镜,恒星和星系之间的空间(背景)是一片漆黑.然而,利用灵敏的辐射望远镜可发现微弱的背景辉光,且在各个方向上几乎一模一样,与任何恒星,星系或其他对象都毫无关系.这种光的电磁波谱在微波区域最强.52
GN-z11相对于我们的径向退行速度接近光速吗?
宇宙的膨胀来自暗能量吗?
空间会膨胀吗?
宇宙存在大爆炸,有一个初始奇点吗?
宇宙微波背景辐射是大爆炸余温在空间膨胀下的残留吗?
现在假设这些假说是错误的.