17 宇宙膨胀中的引力红移
前面的计算得出GN-z11星系相对于我们的径向退行速度接近光速,以地球为参考系,GN-z11星系因速度增加对应的能量非常巨大,与宇宙能量有限的假设相违背.前面假设在这其中计算的某一个步骤存在错误.下面分析错误产生的原因,进一步排除宇宙大爆炸假说中去除空间膨胀假设后暗能量趋于无穷大的矛盾.
$$\begin{equation*}\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \tag{1 - 9}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}z = ( 1 + \frac{v}{c} ) \gamma - 1 \tag{9 - 7}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}E = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} c^{2} \tag{9 - 10}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*} z \xrightarrow{\displaystyle \ z=\left(1+\frac{v}{c}\right) \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1 \ } v \xrightarrow{\displaystyle \ E=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} c^2 \ } E\tag{17 - 1}\end{equation*}$$
原因分析:巨大的能量来自退行速度接近光速,如果退行速度不是接近光速,而是远小于光速,就不会有这么大的能量.问题是在退行速度求解过程上.退行速度来自1 - 9、9 - 7式,代入红移值求得的.红移值是天文观察值,应当认为是可信的.9 - 10式是质能方程,是可信的.1 - 9、9 - 7式是相对论性多普勒效应公式,也是可信的.问题出在哪里?数据公式都没有错,错误在于数据代入错误.相对合理的解释是,GN-z11星系的光谱红移值并不是全部来自多普勒效应.如果光谱红移值只有一小部分来自多普勒效应,那么后面的计算过程就不会出现接近光速的径向退行速度,进而不会出现巨大的能量,甚至于无穷大的能量.
红移分为:多普勒红移、引力红移和宇宙学红移.36
在这三种红移中,多普勒红移和引力红移都有精确的理论公式,恰恰宇宙学红移没有.假如宇宙学红移可以拆分成多普勒红移和引力红移,那么本质上红移只有两种.
星系之间的距离变大,星系之间空间的引力势变小,星系之间空间中的时间变快,星际间传播的可见光(电磁波)的周期变长,频率变低.来自遥远星系的光频率变低意味着红移.
前面的网格化的宇宙单元是由一个个正方体单元组成,每个宇宙单元中心是星系,这里视作一个球体.
图74 大量宇宙单元
Figure 74 A large number of cosmic units
当可观测宇宙尺寸远小于球状膨胀宇宙的尺寸时,前面分析的哈勃常数的扇形接近一个长方形,当切线速度的梯度和径向速度的梯度相等时,把径向和切向取相等的长度,并在垂直方向扩展同样相等的切向长度,就得到一个正方体.如果星系刚好在正方体的中心,并且宇宙的星系的质量和尺寸都是相等的,可观测宇宙就可以看作是一个个正方体单元堆叠组成的.当切线速度的梯度和径向速度的梯度不相等时,每一个宇宙单元就不是正方体而是一个两个面是正方形的长方体.为了简化分析,这里假设宇宙单元是正方体.
求解策略:先求重力加速度,再求引力势,最后通过引力势差求得引力红移.($g → V → ∆ V → z$)
先考虑一维的情况.
图75 一维宇宙单元几何关系
Figure 75 The geometric relationship of the one-dimensional cosmic units
如上图所示,宇宙单元等距排成一条直线,相邻宇宙单元之间的距离为$L$,每个宇宙单元的质量都是$M$.在这条直线上任取一点B,B的左侧的宇宙单元分别编号$A_{- 1}$、$A_{- 2}$、$A_{- 3}$、$A_{- 4} ⋯ A_{- \infty}$,B的右侧的宇宙单元分别编号$A_{1}$、$A_{2}$、$A_{3}$、$A_{4} ⋯ A_{+ \infty}$.B A1之间距离是$L_\mathrm{x}$,为了简化运算,令$L = 1$,$G = 1$,$M = 1$.在分析重力加速度时,把宇宙单元当做所有质量集中在中心点处理.分析空间一点合重力加速度时,不考虑宇宙单元的中心点.
假设任意一个宇宙单元的质量是$M_\mathrm{i}$,对B点产生的重力加速度是$g_\mathrm{i}$,这个宇宙单元与B点的距离是$r_\mathrm{i}$.可得:
$$\begin{equation*}g_\mathrm{i} = \frac{F_\mathrm{i}}{m} = \frac{\frac{G M_\mathrm{i} m}{r_\mathrm{i}^{2}}}{m} = \frac{G M_\mathrm{i}}{r_\mathrm{i}^{2}} \tag{17 - 2}\end{equation*}$$
当$L_\mathrm{x} = 0.5$时,B点右侧所有的宇宙单元对B点产生的合重力加速度
$$\begin{equation*}g = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{( n + \frac{1}{2} )^{2}} = \frac{\pi^{2}}{2} \tag{17 - 3}\end{equation*}$$
当$L_\mathrm{x} = 1$时,B点右侧所有的宇宙单元对B点产生的合重力加速度
$$\begin{equation*}g = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{( n + 1 )^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6} \tag{17 - 4}\end{equation*}$$
当宇宙单元呈一维直线等距排列时,单侧宇宙单元对直线上一点产生的合重力加速度是存在极限的.
不难得出,两侧宇宙单元对直线上一点产生的合重力加速度也是存在极限的,以向右为正方向:
$$\begin{equation*}g_{\infty} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{( n + L_\mathrm{x} )^{2}} - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{( n + 1 - L_\mathrm{x} )^{2}} = \psi^{( 1 )} [L_\mathrm{x}] - \psi^{( 1 )} [1 - L_\mathrm{x}] \tag{17 - 5}\end{equation*}$$
上式中出现了多伽玛函数.目前已经求得,在一维情况下所有宇宙单元对直线上一点产生的合重力加速度的精确公式,尝试能不能化简这个极限值.
B点的相邻宇宙单元A1、A-1,对B点产生的合重力加速度
$$\begin{equation*}g_{\pm 1} = \frac{1}{L_\mathrm{x}^{2}} - \frac{1}{( 1 - L_\mathrm{x} )^{2}} \tag{17 - 6}\end{equation*}$$
分别绘制$g_{\infty}$、$g_{\pm 1}$、$g_{\pm 1} / g_{\infty}$的函数图像
图76 $g_{\infty}$的函数图像
Figure 76 Graph of the function of $g_{\infty}$
图77 $g_{\pm 1}$的函数图像
Figure 77 Graph of the function of $g_{\pm 1}$
图78 $g_{\pm 1} / g_{\infty}$的函数图像
Figure 78 Graph of the function of $g_{\pm 1} / g_{\infty}$
观察图像可得,$g_{\infty}$与$g_{\pm 1}$在数值上非常接近,在一维情况下,直线上一点的合重力加速度绝大部分由相邻的两个宇宙单元提供.那么估算一维情况下空间一点的合重力加速度,在不考虑误差的情况下,只需要考虑相邻的两个宇宙单元的重力效应即可.这样从多伽玛函数切换到分式函数,更容易分析.
既然宇宙单元在一维分布情况下空间一点的合重力加速度不但存在极限,而且可以只考虑相邻的宇宙单元作简化处理,那么宇宙单元在三维分布情况下是不是也可以得到类似的结果呢?答案是肯定的.
下面对宇宙单元在三维分布情况下的合重力加速度进行分析.
图79 三维分布情况下相邻的8个宇宙单元
Figure 79 Adjacent 8 cosmic units in the case of three-dimensional distribution
如上图所示,在三维空间中,把每个宇宙单元视作一个点.相邻的8个宇宙单元中心点为顶点,组成一个立方体.立方体的中心为O点,以O点建立坐标系,并对宇宙单元进行编号.每一个宇宙单元编号为Ai1,i2,i3,其中i1、i2、i3是三个坐标轴方向的编号,范围是$(-\infty \sim-1) \bigcup(1 \sim+\infty)$.用三个不含0的整数集形成一个三元组,这个序列与三维空间的所有宇宙单元形成一一对应的关系.
相邻的8个宇宙单元中心组成的立方体空间,存在无数多个,每一个立方体空间都是相似的.重力加速度和引力势在每一个立方体空间都具有相同的分布.选取一个立方体空间加以分析得出的规律,可以推广到全部宇宙.
与一维的情况下相同,为了简化运算,令$L = 1$,$G = 1$,$M = 1$.在上图中,相邻的8个宇宙单元中心点的坐标
$$\begin{equation*}\left( \begin{matrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & - \frac{ 1}{2} \\ \frac{1}{2} & - \frac{ 1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & - \frac{ 1}{2} & - \frac{ 1}{2} \\ - \frac{ 1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ - \frac{ 1}{2} & \frac{1}{2} & - \frac{ 1}{2} \\ - \frac{ 1}{2} & - \frac{ 1}{2} & \frac{1}{2} \\ - \frac{ 1}{2} & - \frac{ 1}{2} & - \frac{ 1}{2}\end{matrix} \right) \tag{17 - 7}\end{equation*}$$
三维坐标系中8个不同卦限的宇宙单元中心点坐标
$$\begin{equation*}\left( \begin{matrix}\frac{1}{2} + l & \frac{1}{2} + m & \frac{1}{2} + n \\ \frac{1}{2} + l & \frac{1}{2} + m & - \frac{ 1}{2} - n \\ \frac{1}{2} + l & - \frac{ 1}{2} - m & \frac{1}{2} + n \\ \frac{1}{2} + l & - \frac{ 1}{2} - m & - \frac{ 1}{2} - n \\ - \frac{ 1}{2} - l & \frac{1}{2} + m & \frac{1}{2} + n \\ - \frac{ 1}{2} - l & \frac{1}{2} + m & - \frac{ 1}{2} - n \\ - \frac{ 1}{2} - l & - \frac{ 1}{2} - m & \frac{1}{2} + n \\ - \frac{ 1}{2} - l & - \frac{ 1}{2} - m & - \frac{ 1}{2} - n\end{matrix} \right) \tag{17 - 8}\end{equation*}$$
上式中$l$、$m$、$n$属于自然数集$\left( 0,1,2,3,4 , ... \right)$.
当$l = m = n = N$时,8个不同方向宇宙单元,组成一个立方体,中心是图中的O点.这8个宇宙单元的中心点围成的立方体空间命名为$V_{8}$.
设$V_{8}$空间内任意一点B的坐标为$\left( L_\mathrm{x} , L_\mathrm{y} , L_\mathrm{z} \right)$,任意宇宙单元对B点产生的重力加速度是$g_\mathrm{i}$,设每个宇宙单元编号对应的数字是$i$.
$$\begin{equation*}g_\mathrm{i}=\left(g_{\mathrm{ix}},g_{\mathrm{iy}},g_{\mathrm{iz}}\right) , \left\| g_\mathrm{i}\right\| =\frac{G M}{L_\mathrm{AB}^2} \tag{17 - 9}\end{equation*}$$
上式中
$g_\mathrm{ix}$、$g_\mathrm{iy}$、$g_\mathrm{iz}$是$g_\mathrm{i}$在x、y、z轴方向上的分量.$L_\mathrm{AB}$是A点和B点之间的距离.
$\begin{flalign}L_\mathrm{AB}=\sqrt{\left(X_{\mathrm{Ai}}-L_\mathrm{x}\right)^2+\left(Y_{\mathrm{Ai}}-L_\mathrm{y}\right)^2+\left(Z_{\mathrm{Ai}}-L_\mathrm{z}\right)^2}\end{flalign}$
$\left( X_\mathrm{Ai} , Y_\mathrm{Ai} , Z_\mathrm{Ai} \right)$代表任意宇宙单元中心的坐标.
$g_\mathrm{i}$在x、y、z轴方向上的分量
$$\begin{equation*}g_{\mathrm{ix}}=\frac{L_\mathrm{AB\_x} \left\| g_\mathrm{i}\right\| }{L_\mathrm{AB}} \tag{17 - 10}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}g_{\mathrm{iy}}=\frac{L_\mathrm{AB\_y} \left\| g_\mathrm{i}\right\| }{L_\mathrm{AB}} \tag{17 - 11}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}g_{\mathrm{iz}}=\frac{L_\mathrm{AB\_z} \left\| g_\mathrm{i}\right\| }{L_\mathrm{AB}} \tag{17 - 12}\end{equation*}$$
上式中
$L_\mathrm{AB\_x}=X_{\mathrm{Ai}}-L_\mathrm{x} , L_\mathrm{AB\_y}=Y_{\mathrm{Ai}}-L_\mathrm{y} , L_\mathrm{AB\_z}=Z_{\mathrm{Ai}}-L_\mathrm{z}$
可得
$$\begin{equation*}g_{\mathrm{ix}}=\frac{G M \left(X_{\mathrm{Ai}}-L_\mathrm{x}\right)}{\left(\left(X_{\mathrm{Ai}}-L_\mathrm{x}\right)^2+\left(Y_{\mathrm{Ai}}-L_\mathrm{y}\right)^2+\left(Z_{\mathrm{Ai}}-L_\mathrm{z}\right)^2\right)^{3/2}}\tag{17 - 13}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}g_{\mathrm{iy}}=\frac{G M \left(Y_{\mathrm{Ai}}-L_\mathrm{y}\right)}{\left(\left(X_{\mathrm{Ai}}-L_\mathrm{x}\right)^2+\left(Y_{\mathrm{Ai}}-L_\mathrm{y}\right)^2+\left(Z_{\mathrm{Ai}}-L_\mathrm{z}\right)^2\right)^{3/2}}\tag{17 - 14}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}g_{\mathrm{iz}}=\frac{G M \left(Z_{\mathrm{Ai}}-L_\mathrm{z}\right)}{\left(\left(X_{\mathrm{Ai}}-L_\mathrm{x}\right)^2+\left(Y_{\mathrm{Ai}}-L_\mathrm{y}\right)^2+\left(Z_{\mathrm{Ai}}-L_\mathrm{z}\right)^2\right)^{3/2}}\tag{17 - 15}\end{equation*}$$
$V_{8}$空间中使用$p$代替$i$重新编号,$p$的取值范围是$( 1 \sim 8 )$,$p$代表$V_{8}$空间中8个不同方向的宇宙单元中心的序号.
$$\begin{equation*}g_{\mathrm{px}}=\frac{G M \left(X_{\mathrm{Ap}}-L_\mathrm{x}\right)}{\left(\left(X_{\mathrm{Ap}}-L_\mathrm{x}\right)^2+\left(Y_{\mathrm{Ap}}-L_\mathrm{y}\right)^2+\left(Z_{\mathrm{Ap}}-L_\mathrm{z}\right)^2\right)^{3/2}}\tag{17 - 16}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}g_{\mathrm{py}}=\frac{G M \left(Y_{\mathrm{Ap}}-L_\mathrm{y}\right)}{\left(\left(X_{\mathrm{Ap}}-L_\mathrm{x}\right)^2+\left(Y_{\mathrm{Ap}}-L_\mathrm{y}\right)^2+\left(Z_{\mathrm{Ap}}-L_\mathrm{z}\right)^2\right)^{3/2}}\tag{17 - 17}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}g_{\mathrm{pz}}=\frac{G M \left(Z_{\mathrm{Ap}}-L_\mathrm{z}\right)}{\left(\left(X_{\mathrm{Ap}}-L_\mathrm{x}\right)^2+\left(Y_{\mathrm{Ap}}-L_\mathrm{y}\right)^2+\left(Z_{\mathrm{Ap}}-L_\mathrm{z}\right)^2\right)^{3/2}}\tag{17 - 18}\end{equation*}$$
前面提到为了简化运算,令$L = 1$,$G = 1$,$M = 1$.17 – 7、17 – 8式中的坐标是相对坐标.如果$g_{\mathrm{px}}$、$g_{\mathrm{py}}$、$g_{\mathrm{pz}}$可以提取出一个因式$f \left[L , G , M\right]$,并且剩下的因式与$L$、$G$、$M$不相关,那么剩下的因式可以视作相对重力加速度.
令$$\begin{equation*}L_\mathrm{x}=l_\mathrm{x} L\tag{17 - 19}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}L_\mathrm{y}=l_\mathrm{y} L\tag{17 - 20}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}L_\mathrm{z}=l_\mathrm{z} L\tag{17 - 21}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}X_{\mathrm{Ap}}=x_{\mathrm{Ap}} L\tag{17 - 22}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}Y_{\mathrm{Ap}}=y_{\mathrm{Ap}} L\tag{17 - 23}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}Z_{\mathrm{Ap}}=z_{\mathrm{Ap}} L\tag{17 - 24}\end{equation*}$$
把17 - 19~17 - 24式代入17 - 16、17 - 17、17 - 18式
$\begin{flalign}g_{\mathrm{px}}=\frac{G M} {L^2} \frac{ \left(x_{\mathrm{Ap}}-l_\mathrm{x}\right)}{ \left(\left(x_{\mathrm{Ap}}-l_\mathrm{x}\right)^2+\left(y_{\mathrm{Ap}}-l_\mathrm{y}\right)^2+\left(z_{\mathrm{Ap}}-l_\mathrm{z}\right)^2\right)^{3/2}}\end{flalign}$
$\begin{flalign}g_{\mathrm{py}}=\frac{G M} {L^2} \frac{ \left(y_{\mathrm{Ap}}-l_\mathrm{y}\right)}{ \left(\left(x_{\mathrm{Ap}}-l_\mathrm{x}\right)^2+\left(y_{\mathrm{Ap}}-l_\mathrm{y}\right)^2+\left(z_{\mathrm{Ap}}-l_\mathrm{z}\right)^2\right)^{3/2}}\end{flalign}$
$\begin{flalign}g_{\mathrm{pz}}=\frac{G M} {L^2} \frac{ \left(z_{\mathrm{Ap}}-l_\mathrm{z}\right)}{ \left(\left(x_{\mathrm{Ap}}-l_\mathrm{x}\right)^2+\left(y_{\mathrm{Ap}}-l_\mathrm{y}\right)^2+\left(z_{\mathrm{Ap}}-l_\mathrm{z}\right)^2\right)^{3/2}}\end{flalign}$
令$$\begin{equation*}\mathrm{g\_relative}_{\mathrm{px}}= \frac{ \left(x_{\mathrm{Ap}}-l_\mathrm{x}\right)}{ \left(\left(x_{\mathrm{Ap}}-l_\mathrm{x}\right)^2+\left(y_{\mathrm{Ap}}-l_\mathrm{y}\right)^2+\left(z_{\mathrm{Ap}}-l_\mathrm{z}\right)^2\right)^{3/2}}\tag{17 - 25}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}\mathrm{g\_relative}_{\mathrm{py}}= \frac{ \left(y_{\mathrm{Ap}}-l_\mathrm{y}\right)}{ \left(\left(x_{\mathrm{Ap}}-l_\mathrm{x}\right)^2+\left(y_{\mathrm{Ap}}-l_\mathrm{y}\right)^2+\left(z_{\mathrm{Ap}}-l_\mathrm{z}\right)^2\right)^{3/2}}\tag{17 - 26}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}\mathrm{g\_relative}_{\mathrm{pz}}= \frac{ \left(z_{\mathrm{Ap}}-l_\mathrm{z}\right)}{ \left(\left(x_{\mathrm{Ap}}-l_\mathrm{x}\right)^2+\left(y_{\mathrm{Ap}}-l_\mathrm{y}\right)^2+\left(z_{\mathrm{Ap}}-l_\mathrm{z}\right)^2\right)^{3/2}}\tag{17 - 27}\end{equation*}$$
可得任意宇宙单元对B点产生的重力加速度和相对重力加速度的关系
$$\begin{equation*}\left(g_{\mathrm{px}},g_{\mathrm{py}},g_{\mathrm{pz}}\right)=\left(\frac{G M}{L^2} \mathrm{g\_relative}_{\mathrm{px}},\frac{G M}{L^2} \mathrm{g\_relative}_{\mathrm{py}},\frac{G M}{L^2} \mathrm{g\_relative}_{\mathrm{pz}}\right)\tag{17 - 28}\end{equation*}$$
使用$g_{\mathrm{sum}}$表示所有宇宙单元对B点产生的重力加速度之和,$g_{\mathrm{sumx}}$、$g_{\mathrm{sumy}}$、$g_{\mathrm{sumz}}$分别是$g_{\mathrm{sum}}$在x、y、z轴方向上的分量.$g_{\mathrm{sum}}$可以转化为$g_\mathrm{i}$的级数,$g_\mathrm{i}$的级数是$i$作为编号的一重级数,可以进一步转化为以$l$、$m$、$n$、$p$作为编号的四重级数.
$$\begin{equation*}\begin{aligned}g_{\mathrm{sum}} =&\left(g_{\mathrm{sumx}},g_{\mathrm{sumy}},g_{\mathrm{sumz}}\right)=\left(\sum _{i=1}^{\infty } g_{\mathrm{ix}},\sum _{i=1}^{\infty } g_{\mathrm{iy}},\sum _{i=1}^{\infty } g_{\mathrm{iz}}\right) \\ =&\left(\sum _{l=0}^{\infty } \sum _{m=0}^{\infty } \sum _{n=0}^{\infty } \sum _{p=1}^8 g_{\mathrm{px}},\sum _{l=0}^{\infty } \sum _{m=0}^{\infty } \sum _{n=0}^{\infty } \sum _{p=1}^8 g_{\mathrm{py}},\sum _{l=0}^{\infty } \sum _{m=0}^{\infty } \sum _{n=0}^{\infty } \sum _{p=1}^8 g_{\mathrm{pz}}\right) \\ =& ( {\frac{G M}{L^2} } { \sum _{l=0}^{\infty } \sum _{m=0}^{\infty } \sum _{n=0}^{\infty } \sum _{p=1}^8 \mathrm{g\_relative}_{\mathrm {px}}}, { \frac {G M}{L^2}} { \sum _ {l=0} ^ { \infty } \sum_ {m = 0} ^ {\infty } \sum_ {n = 0} ^ {\infty } \sum_ {p=1} ^ 8 \mathrm {g\_relative}_ {\mathrm {py}}},\\ &{ \frac {G M}{L^2}} { \sum _ {l = 0} ^ {\infty } \sum_ {m = 0} ^ {\infty } \sum_ {n = 0} ^ {\infty } \sum_ {p=1} ^ 8 \mathrm {g\_relative}_ {\mathrm {pz}}} )\end{aligned}\tag{17 - 29}\end{equation*}$$
代入8个不同卦限的宇宙单元中心点坐标,求得$V_{8}$空间中8个宇宙单元对B点产生的相对重力加速度之和
$$\begin{equation*}\begin{aligned}\sum _{p=1} ^ 8\mathrm{g\_relative}_{\mathrm{px}} = & \frac{-l-l_\mathrm{x}-\frac{1}{2}}{\left(\left(-l-l_\mathrm{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(-m-l_\mathrm{y}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(-n-l_\mathrm{z}-\frac{1}{2}\right)^2\right)^{3/2}} \\ & +\frac{-l-l_\mathrm{x}-\frac{1}{2}}{\left(\left(-l-l_\mathrm{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(m-l_\mathrm{y}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(-n-l_\mathrm{z}-\frac{1}{2}\right)^2\right)^{3/2}} \\ & +\frac{-l-l_\mathrm{x}-\frac{1}{2}}{\left(\left(-l-l_\mathrm{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(-m-l_\mathrm{y}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(n-l_\mathrm{z}+\frac{1}{2}\right)^2\right)^{3/2}} \\ & +\frac{-l-l_\mathrm{x}-\frac{1}{2}}{\left(\left(-l-l_\mathrm{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(m-l_\mathrm{y}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(n-l_\mathrm{z}+\frac{1}{2}\right)^2\right)^{3/2}} \\ & +\frac{l-l_\mathrm{x}+\frac{1}{2}}{\left(\left(l-l_\mathrm{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(-m-l_\mathrm{y}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(-n-l_\mathrm{z}-\frac{1}{2}\right)^2\right)^{3/2}} \\ & +\frac{l-l_\mathrm{x}+\frac{1}{2}}{\left(\left(l-l_\mathrm{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(m-l_\mathrm{y}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(-n-l_\mathrm{z}-\frac{1}{2}\right)^2\right)^{3/2}} \\ & +\frac{l-l_\mathrm{x}+\frac{1}{2}}{\left(\left(l-l_\mathrm{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(-m-l_\mathrm{y}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(n-l_\mathrm{z}+\frac{1}{2}\right)^2\right)^{3/2}} \\ & +\frac{l-l_\mathrm{x}+\frac{1}{2}}{\left(\left(l-l_\mathrm{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(m-l_\mathrm{y}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(n-l_\mathrm{z}+\frac{1}{2}\right)^2\right)^{3/2}}\end{aligned}\tag{17 - 30}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}\begin{aligned}\sum _{p=1} ^ 8\mathrm{g\_relative}_{\mathrm{py}} = & \frac{-m-l_\mathrm{y}-\frac{1}{2}}{\left(\left(-l-l_\mathrm{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(-m-l_\mathrm{y}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(-n-l_\mathrm{z}-\frac{1}{2}\right)^2\right)^{3/2}} \\ & +\frac{-m-l_\mathrm{y}-\frac{1}{2}}{\left(\left(l-l_\mathrm{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(-m-l_\mathrm{y}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(-n-l_\mathrm{z}-\frac{1}{2}\right)^2\right)^{3/2}} \\ & +\frac{-m-l_\mathrm{y}-\frac{1}{2}}{\left(\left(-l-l_\mathrm{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(-m-l_\mathrm{y}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(n-l_\mathrm{z}+\frac{1}{2}\right)^2\right)^{3/2}} \\ & +\frac{-m-l_\mathrm{y}-\frac{1}{2}}{\left(\left(l-l_\mathrm{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(-m-l_\mathrm{y}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(n-l_\mathrm{z}+\frac{1}{2}\right)^2\right)^{3/2}} \\ & +\frac{m-l_\mathrm{y}+\frac{1}{2}}{\left(\left(-l-l_\mathrm{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(m-l_\mathrm{y}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(-n-l_\mathrm{z}-\frac{1}{2}\right)^2\right)^{3/2}} \\ & +\frac{m-l_\mathrm{y}+\frac{1}{2}}{\left(\left(l-l_\mathrm{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(m-l_\mathrm{y}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(-n-l_\mathrm{z}-\frac{1}{2}\right)^2\right)^{3/2}} \\ & +\frac{m-l_\mathrm{y}+\frac{1}{2}}{\left(\left(-l-l_\mathrm{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(m-l_\mathrm{y}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(n-l_\mathrm{z}+\frac{1}{2}\right)^2\right)^{3/2}} \\ & +\frac{m-l_\mathrm{y}+\frac{1}{2}}{\left(\left(l-l_\mathrm{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(m-l_\mathrm{y}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(n-l_\mathrm{z}+\frac{1}{2}\right)^2\right)^{3/2}}\end{aligned}\tag{17 - 31}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}\begin{aligned}\sum _{p=1} ^ 8\mathrm{g\_relative}_{\mathrm{pz}} = & \frac{-n-l_\mathrm{z}-\frac{1}{2}}{\left(\left(-l-l_\mathrm{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(-m-l_\mathrm{y}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(-n-l_\mathrm{z}-\frac{1}{2}\right)^2\right)^{3/2}} \\ & +\frac{-n-l_\mathrm{z}-\frac{1}{2}}{\left(\left(l-l_\mathrm{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(-m-l_\mathrm{y}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(-n-l_\mathrm{z}-\frac{1}{2}\right)^2\right)^{3/2}} \\ & +\frac{-n-l_\mathrm{z}-\frac{1}{2}}{\left(\left(-l-l_\mathrm{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(m-l_\mathrm{y}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(-n-l_\mathrm{z}-\frac{1}{2}\right)^2\right)^{3/2}} \\ & +\frac{-n-l_\mathrm{z}-\frac{1}{2}}{\left(\left(l-l_\mathrm{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(m-l_\mathrm{y}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(-n-l_\mathrm{z}-\frac{1}{2}\right)^2\right)^{3/2}} \\ & +\frac{n-l_\mathrm{z}+\frac{1}{2}}{\left(\left(-l-l_\mathrm{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(-m-l_\mathrm{y}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(n-l_\mathrm{z}+\frac{1}{2}\right)^2\right)^{3/2}} \\ & +\frac{n-l_\mathrm{z}+\frac{1}{2}}{\left(\left(l-l_\mathrm{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(-m-l_\mathrm{y}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(n-l_\mathrm{z}+\frac{1}{2}\right)^2\right)^{3/2}} \\ & +\frac{n-l_\mathrm{z}+\frac{1}{2}}{\left(\left(-l-l_\mathrm{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(m-l_\mathrm{y}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(n-l_\mathrm{z}+\frac{1}{2}\right)^2\right)^{3/2}} \\ & +\frac{n-l_\mathrm{z}+\frac{1}{2}}{\left(\left(l-l_\mathrm{x}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(m-l_\mathrm{y}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(n-l_\mathrm{z}+\frac{1}{2}\right)^2\right)^{3/2}} \end{aligned}\tag{17 - 32}\end{equation*}$$
下面求解$l = m = n = N$对应的$V_{8}$空间里面所有宇宙单元对B点产生的相对重力加速度之和.当$N$趋于无穷大时,这个相对重力加速度之和等于宇宙内所有宇宙单元对B点产生的相对重力加速度之和.
$$\begin{equation*}\begin{aligned}\sum _{l=0} ^ {\mathrm{N}} \sum _{m=0} ^ {\mathrm{N}} \sum _{n=0} ^ {\mathrm{N}} \sum _{p=1} ^ 8 \mathrm{g\_relative}_{\mathrm{px}} = \sum _{l=0} ^ {\mathrm{N}} \sum _{m=0} ^ {\mathrm{N}} \sum _{n=0} ^ {\mathrm{N}} & \Bigg( \frac{-\frac{1}{2}-l-l_\mathrm{x}}{\left(\left(-\frac{1}{2}-l-l_\mathrm{x}\right) ^ 2+\left(-\frac{1}{2}-m-l_\mathrm{y}\right) ^ 2+\left(-\frac{1}{2}-n-l_\mathrm{z}\right) ^ 2\right) ^ {3/2}} \\ & +\frac{\frac{1}{2}+l-l_\mathrm{x}}{\left(\left(\frac{1}{2}+l-l_\mathrm{x}\right) ^ 2+\left(-\frac{1}{2}-m-l_\mathrm{y}\right) ^ 2+\left(-\frac{1}{2}-n-l_\mathrm{z}\right) ^ 2\right) ^ {3/2}} \\ & +\frac{-\frac{1}{2}-l-l_\mathrm{x}}{\left(\left(-\frac{1}{2}-l-l_\mathrm{x}\right) ^ 2+\left(\frac{1}{2}+m-l_\mathrm{y}\right) ^ 2+\left(-\frac{1}{2}-n-l_\mathrm{z}\right) ^ 2\right) ^ {3/2}} \\ & +\frac{\frac{1}{2}+l-l_\mathrm{x}}{\left(\left(\frac{1}{2}+l-l_\mathrm{x}\right) ^ 2+\left(\frac{1}{2}+m-l_\mathrm{y}\right) ^ 2+\left(-\frac{1}{2}-n-l_\mathrm{z}\right) ^ 2\right) ^ {3/2}} \\ & +\frac{-\frac{1}{2}-l-l_\mathrm{x}}{\left(\left(-\frac{1}{2}-l-l_\mathrm{x}\right) ^ 2+\left(-\frac{1}{2}-m-l_\mathrm{y}\right) ^ 2+\left(\frac{1}{2}+n-l_\mathrm{z}\right) ^ 2\right) ^ {3/2}} \\ & +\frac{\frac{1}{2}+l-l_\mathrm{x}}{\left(\left(\frac{1}{2}+l-l_\mathrm{x}\right) ^ 2+\left(-\frac{1}{2}-m-l_\mathrm{y}\right) ^ 2+\left(\frac{1}{2}+n-l_\mathrm{z}\right) ^ 2\right) ^ {3/2}} \\ & +\frac{-\frac{1}{2}-l-l_\mathrm{x}}{\left(\left(-\frac{1}{2}-l-l_\mathrm{x}\right) ^ 2+\left(\frac{1}{2}+m-l_\mathrm{y}\right) ^ 2+\left(\frac{1}{2}+n-l_\mathrm{z}\right) ^ 2\right) ^ {3/2}} \\ & +\frac{\frac{1}{2}+l-l_\mathrm{x}}{\left(\left(\frac{1}{2}+l-l_\mathrm{x}\right) ^ 2+\left(\frac{1}{2}+m-l_\mathrm{y}\right) ^ 2+\left(\frac{1}{2}+n-l_\mathrm{z}\right) ^ 2\right) ^ {3/2}} \Bigg)\end{aligned}\tag{17 - 33}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}\begin{aligned}\sum _{l=0} ^ {\mathrm{N}} \sum _{m=0} ^ {\mathrm{N}} \sum _{n=0} ^ {\mathrm{N}} \sum _{p=1} ^ 8 \mathrm{g\_relative}_{\mathrm{py}} = \sum _{l=0} ^ {\mathrm{N}} \sum _{m=0} ^ {\mathrm{N}} \sum _{n=0} ^ {\mathrm{N}} & \Bigg( \frac{-\frac{1}{2}-m-l_\mathrm{y}}{\left(\left(-\frac{1}{2}-l-l_\mathrm{x}\right) ^ 2+\left(-\frac{1}{2}-m-l_\mathrm{y}\right) ^ 2+\left(-\frac{1}{2}-n-l_\mathrm{z}\right) ^ 2\right) ^ {3/2}} \\ & +\frac{-\frac{1}{2}-m-l_\mathrm{y}}{\left(\left(\frac{1}{2}+l-l_\mathrm{x}\right) ^ 2+\left(-\frac{1}{2}-m-l_\mathrm{y}\right) ^ 2+\left(-\frac{1}{2}-n-l_\mathrm{z}\right) ^ 2\right) ^ {3/2}} \\ & +\frac{\frac{1}{2}+m-l_\mathrm{y}}{\left(\left(-\frac{1}{2}-l-l_\mathrm{x}\right) ^ 2+\left(\frac{1}{2}+m-l_\mathrm{y}\right) ^ 2+\left(-\frac{1}{2}-n-l_\mathrm{z}\right) ^ 2\right) ^ {3/2}} \\ & +\frac{\frac{1}{2}+m-l_\mathrm{y}}{\left(\left(\frac{1}{2}+l-l_\mathrm{x}\right) ^ 2+\left(\frac{1}{2}+m-l_\mathrm{y}\right) ^ 2+\left(-\frac{1}{2}-n-l_\mathrm{z}\right) ^ 2\right) ^ {3/2}} \\ & +\frac{-\frac{1}{2}-m-l_\mathrm{y}}{\left(\left(-\frac{1}{2}-l-l_\mathrm{x}\right) ^ 2+\left(-\frac{1}{2}-m-l_\mathrm{y}\right) ^ 2+\left(\frac{1}{2}+n-l_\mathrm{z}\right) ^ 2\right) ^ {3/2}} \\ & +\frac{-\frac{1}{2}-m-l_\mathrm{y}}{\left(\left(\frac{1}{2}+l-l_\mathrm{x}\right) ^ 2+\left(-\frac{1}{2}-m-l_\mathrm{y}\right) ^ 2+\left(\frac{1}{2}+n-l_\mathrm{z}\right) ^ 2\right) ^ {3/2}} \\ & +\frac{\frac{1}{2}+m-l_\mathrm{y}}{\left(\left(-\frac{1}{2}-l-l_\mathrm{x}\right) ^ 2+\left(\frac{1}{2}+m-l_\mathrm{y}\right) ^ 2+\left(\frac{1}{2}+n-l_\mathrm{z}\right) ^ 2\right) ^ {3/2}} \\ & +\frac{\frac{1}{2}+m-l_\mathrm{y}}{\left(\left(\frac{1}{2}+l-l_\mathrm{x}\right) ^ 2+\left(\frac{1}{2}+m-l_\mathrm{y}\right) ^ 2+\left(\frac{1}{2}+n-l_\mathrm{z}\right) ^ 2\right) ^ {3/2}} \Bigg)\end{aligned}\tag{17 - 34}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}\begin{aligned}\sum _{l=0} ^ {\mathrm{N}} \sum _{m=0} ^ {\mathrm{N}} \sum _{n=0} ^ {\mathrm{N}} \sum _{p=1} ^ 8 \mathrm{g\_relative}_{\mathrm{pz}} = \sum _{l=0} ^ {\mathrm{N}} \sum _{m=0} ^ {\mathrm{N}} \sum _{n=0} ^ {\mathrm{N}} & \Bigg( \frac{-\frac{1}{2}-n-l_\mathrm{z}}{\left(\left(-\frac{1}{2}-l-l_\mathrm{x}\right) ^ 2+\left(-\frac{1}{2}-m-l_\mathrm{y}\right) ^ 2+\left(-\frac{1}{2}-n-l_\mathrm{z}\right) ^ 2\right) ^ {3/2}} \\ & +\frac{-\frac{1}{2}-n-l_\mathrm{z}}{\left(\left(\frac{1}{2}+l-l_\mathrm{x}\right) ^ 2+\left(-\frac{1}{2}-m-l_\mathrm{y}\right) ^ 2+\left(-\frac{1}{2}-n-l_\mathrm{z}\right) ^ 2\right) ^ {3/2}} \\ & +\frac{-\frac{1}{2}-n-l_\mathrm{z}}{\left(\left(-\frac{1}{2}-l-l_\mathrm{x}\right) ^ 2+\left(\frac{1}{2}+m-l_\mathrm{y}\right) ^ 2+\left(-\frac{1}{2}-n-l_\mathrm{z}\right) ^ 2\right) ^ {3/2}} \\ & +\frac{-\frac{1}{2}-n-l_\mathrm{z}}{\left(\left(\frac{1}{2}+l-l_\mathrm{x}\right) ^ 2+\left(\frac{1}{2}+m-l_\mathrm{y}\right) ^ 2+\left(-\frac{1}{2}-n-l_\mathrm{z}\right) ^ 2\right) ^ {3/2}} \\ & +\frac{\frac{1}{2}+n-l_\mathrm{z}}{\left(\left(-\frac{1}{2}-l-l_\mathrm{x}\right) ^ 2+\left(-\frac{1}{2}-m-l_\mathrm{y}\right) ^ 2+\left(\frac{1}{2}+n-l_\mathrm{z}\right) ^ 2\right) ^ {3/2}} \\ & +\frac{\frac{1}{2}+n-l_\mathrm{z}}{\left(\left(\frac{1}{2}+l-l_\mathrm{x}\right) ^ 2+\left(-\frac{1}{2}-m-l_\mathrm{y}\right) ^ 2+\left(\frac{1}{2}+n-l_\mathrm{z}\right) ^ 2\right) ^ {3/2}} \\ & +\frac{\frac{1}{2}+n-l_\mathrm{z}}{\left(\left(-\frac{1}{2}-l-l_\mathrm{x}\right) ^ 2+\left(\frac{1}{2}+m-l_\mathrm{y}\right) ^ 2+\left(\frac{1}{2}+n-l_\mathrm{z}\right) ^ 2\right) ^ {3/2}} \\ & +\frac{\frac{1}{2}+n-l_\mathrm{z}}{\left(\left(\frac{1}{2}+l-l_\mathrm{x}\right) ^ 2+\left(\frac{1}{2}+m-l_\mathrm{y}\right) ^ 2+\left(\frac{1}{2}+n-l_\mathrm{z}\right) ^ 2\right) ^ {3/2}} \Bigg)\end{aligned}\tag{17 - 35}\end{equation*}$$
Mathematica无法求得上面无穷级数的收敛极限的代数解析式.不过,可以选取随机的数值代入,可以发现上面的无穷级数存在收敛极限.
令$\begin{flalign}\mathrm{g\_relative}_\mathrm{sumNx} = \sum _{l=0} ^ {\mathrm{N}} \sum _{m=0} ^ {\mathrm{N}} \sum _{n=0} ^ {\mathrm{N}} \sum _{p=1} ^ 8 \mathrm{g\_relative}_{\mathrm{px}}\end{flalign}$
$\begin{flalign}\mathrm{g\_relative}_\mathrm{sumNy} = \sum _{l=0} ^ {\mathrm{N}} \sum _{m=0} ^ {\mathrm{N}} \sum _{n=0} ^ {\mathrm{N}} \sum _{p=1} ^ 8 \mathrm{g\_relative}_{\mathrm{py}}\end{flalign}$
$\begin{flalign}\mathrm{g\_relative}_\mathrm{sumNz} = \sum _{l=0} ^ {\mathrm{N}} \sum _{m=0} ^ {\mathrm{N}} \sum _{n=0} ^ {\mathrm{N}} \sum _{p=1} ^ 8 \mathrm{g\_relative}_{\mathrm{pz}}\end{flalign}$
$\begin{flalign}\mathrm{g\_relative}_\mathrm{sumN} = ( \mathrm{g\_relative}_\mathrm{sumNx} , \mathrm{g\_relative}_\mathrm{sumNy} , \mathrm{g\_relative}_\mathrm{sumNz} )\end{flalign}$
$\begin{flalign}\mathrm{g}_\mathrm{sumN} = { \frac {G M}{L^2}} \mathrm{g\_relative}_\mathrm{sumN} \end{flalign}$
选取$\left( l_\mathrm{x} , l_\mathrm{y} , l_\mathrm{z} \right)=\left( \frac{1}{4} , \frac{1}{4} , \frac{1}{4} \right)$,选取不同的$N$值对17 - 33式进行计算
表14 不同的$N$值对应的$\mathrm{g\_relative}_\mathrm{sumNx}$值
Table 14 Different values of $N$ corresponding to $\mathrm{g\_relative}_\mathrm{sumNx}$ Value
| $N$ | $\mathrm{g\_relative}_\mathrm{sumNx}$ | $N$ | $\mathrm{g\_relative}_\mathrm{sumNx}$ |
| 0 | 1.3325 | 16 | 1.3116 |
| 1 | 1.3194 | 17 | 1.3115 |
| 2 | 1.3150 | 18 | 1.3115 |
| 3 | 1.3135 | 19 | 1.3115 |
| 4 | 1.3127 | 20 | 1.3115 |
| 5 | 1.3123 | 21 | 1.3115 |
| 6 | 1.3121 | 22 | 1.3115 |
| 7 | 1.3119 | 23 | 1.3115 |
| 8 | 1.3118 | 24 | 1.3115 |
| 9 | 1.3118 | 25 | 1.3115 |
| 10 | 1.3117 | 26 | 1.3115 |
| 11 | 1.3117 | 27 | 1.3115 |
| 12 | 1.3116 | 28 | 1.3115 |
| 13 | 1.3116 | 29 | 1.3115 |
| 14 | 1.3116 | 30 | 1.3115 |
| 15 | 1.3116 | 31 | 1.3115 |
因为选取的坐标对称性的缘故,$l_\mathrm{x} = l_\mathrm{y} = l_\mathrm{z}$.这个时候合重力加速度在x、y、z方向的分量是相等的.可得
$\begin{flalign}\mathrm{g\_relative}_\mathrm{sumNx} = \mathrm{g\_relative}_\mathrm{sumNy} = \mathrm{g\_relative}_\mathrm{sumNz}\end{flalign}$
$\begin{flalign}\mathrm{g\_relative}_\mathrm{sumN} = \sqrt{3} \mathrm{g\_relative}_\mathrm{sumNx}\end{flalign}$
$\begin{flalign}g_\mathrm{sumN} = \frac{GM}{L^{2}} \mathrm{g\_relative}_\mathrm{sumN} = \sqrt{3} \frac{GM}{L^{2}} \mathrm{g\_relative}_\mathrm{sumNx}\end{flalign}$
观察表格数据可以得出$\mathrm{g\_relative}_\mathrm{sumNx}$的无穷级数存在收敛极限,约为$1.3115$.相应的合重力加速度正比于$\mathrm{g\_relative}_\mathrm{sumNx}$,也存在收敛极限.在$V_{8}$空间内相对坐标为$\left( \frac{1}{4} , \frac{1}{4} , \frac{1}{4} \right)$的B点处,使用相邻的8个宇宙单元提供的合重力加速度代替所有宇宙单元对B点的合重力加速度产生的误差:$\left( 1.3325 - 1.3115 \right) / 1.3115 = 0.016$,可以看到这个数值非常小.
进一步使用蒙特卡罗方法(Monte Carlo method),使用随机数代入$V_{8}$空间的坐标,通过大量随机抽取的样本点计算合重力加速度可以得出,与一维的情况类似,三维排列的所有宇宙单元的合重力加速度绝大部分由相邻的8个宇宙单元提供.
约定B点相邻的8个宇宙单元提供的合相对重力加速度是$\mathrm{g\_relative}_{0}$在x、y、z方向的分量的符号分别是$\mathrm{g\_relative}_\mathrm{0 x}$、$\mathrm{g\_relative}_\mathrm{0 y}$、$\mathrm{g\_relative}_\mathrm{0 z}$.
$$\begin{equation*}\mathrm{g\_relative}_\mathrm{0 x} = {\mathrm{g\_relative}_\mathrm{sumNx}}\ ( N \rightarrow 0 ) \tag{17 - 36}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}\mathrm{g\_relative}_\mathrm{0 y} = {\mathrm{g\_relative}_\mathrm{sumNy}}\ ( N \rightarrow 0 ) \tag{17 - 37}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}\mathrm{g\_relative}_\mathrm{0 z} = {\mathrm{g\_relative}_\mathrm{sumNz}}\ ( N \rightarrow 0 ) \tag{17 - 38}\end{equation*}$$
所有宇宙单元对B点产生的合重力加速度可以用B点相邻的8个宇宙单元提供的合重力加速度近似表示
$$\begin{equation*}g_\mathrm{sum} ≈ ( \frac{GM}{L^{2}} \mathrm{g\_relative}_\mathrm{0 x} , \frac{GM}{L^{2}} \mathrm{g\_relative}_\mathrm{0 y} , \frac{GM}{L^{2}} \mathrm{g\_relative}_\mathrm{0 z} ) \tag{17 - 39}\end{equation*}$$
B点相邻的8个宇宙单元提供的合相对重力加速度的大小
$$\begin{equation*}\left\|\mathrm{g\_relative}_{0}\right\| = \sqrt{\left(\mathrm{g\_relative}_\mathrm{0 x}\right)^{2} + \left(\mathrm{g\_relative}_\mathrm{0 y}\right)^{2} + \left(\mathrm{g\_relative}_\mathrm{0 z}\right)^{2}} \tag{17 - 40}\end{equation*}$$
把17 - 39式改写成标量形式
$$\begin{equation*}g_\mathrm{sum} ≈ \frac{GM}{L^{2}} \left\|\mathrm{g\_relative}_{0}\right\| \tag{17 - 41}\end{equation*}$$
下面开始求解引力红移.
假设一束光从宇宙远处的B1点发射,到达太阳系的B2点被天文望远镜观测到.B1点在宇宙单元的相对坐标是$\left( l_\mathrm{x 1} , l_\mathrm{y 1} , l_\mathrm{z 1} \right)$,B2点在宇宙单元的相对坐标是$\left( l_\mathrm{x 2} , l_\mathrm{y 2} , l_\mathrm{z 2} \right)$,B1点的重力加速度是$g_\mathrm{s}$,B2点的重力加速度是$g_\mathrm{e}$.假设在宇宙膨胀中,宇宙单元的总质量是不变的或近似不变的,B1点的宇宙单元距离用$L_\mathrm{s}$表示,B2的宇宙单元距离用$L_\mathrm{e}$表示.应用17 - 41式可得
$$\begin{equation*}g_\mathrm{s} ≈ \frac{GM}{L_\mathrm{s}^{2}} \left\|\mathrm{g\_relative}_{0}\right\|\ (( l_\mathrm{x} , l_\mathrm{y} , l_\mathrm{z} ) \rightarrow ( l_\mathrm{x 1} , l_\mathrm{y 1} , l_\mathrm{z 1} )) \tag{17 - 42}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}g_\mathrm{e} ≈ \frac{GM}{L_\mathrm{e}^{2}} \left\|\mathrm{g\_relative}_{0}\right\|\ (( l_\mathrm{x} , l_\mathrm{y} , l_\mathrm{z} ) \rightarrow ( l_\mathrm{x 2} , l_\mathrm{y 2} , l_\mathrm{z 2} )) \tag{17 - 43}\end{equation*}$$
为了简化比较,假设B1点和B2点宇宙单元的相对坐标是相同的
$$\begin{equation*}( l_\mathrm{x 1} , l_\mathrm{y 1} , l_\mathrm{z 1} ) = ( l_\mathrm{x 2} , l_\mathrm{y 2} , l_\mathrm{z 2} ) \tag{17 - 44}\end{equation*}$$
这个时候,B1点和B2点相关的位置系数$C_\mathrm{g}$相等
$$\begin{equation*}\left\|\mathrm{g\_relative}_{0}\right\|\ (( l_\mathrm{x} , l_\mathrm{y} , l_\mathrm{z} ) \rightarrow ( l_\mathrm{x 1} , l_\mathrm{y 1} , l_\mathrm{z 1} )) = \left\|\mathrm{g\_relative}_{0}\right\|\ (( l_\mathrm{x} , l_\mathrm{y} , l_\mathrm{z} ) \rightarrow ( l_\mathrm{x 2} , l_\mathrm{y 2} , l_\mathrm{z 2} )) = C_\mathrm{g} \tag{17 - 45}\end{equation*}$$
当位置系数$C_\mathrm{g}$不变时,空间一点的重力加速度只和$L$这两个变量有关
$$\begin{equation*}g = \frac{GM}{L^{2}} C_\mathrm{g} \tag{17 - 46}\end{equation*}$$
联合17 - 42、17 - 43、17 - 45式,B1点和B2点的重力加速度变为
$$\begin{equation*}g_\mathrm{s} = \frac{GM}{ L_\mathrm{s} ^{2}} C_\mathrm{g} \tag{17 - 47}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}g_\mathrm{e} = \frac{GM}{ L_\mathrm{e} ^{2}} C_\mathrm{g} \tag{17 - 48}\end{equation*}$$
一个球状天体的孤立系统中,约定无穷远处的引力势为0,重力加速度和引力势的解析式
$$\begin{equation*}g = \frac{GM}{r^{2}} , V = - \frac{ GM}{r} \tag{17 - 49}\end{equation*}$$
把B1点和B2点看做一个相对位置的不动点B,规定8个相邻的宇宙单元组成的立方体的边长$L$从初始值$L$增到无穷大时,B点的势能为0.由此可以求得B点的引力势
$$\begin{equation*}V = -\frac{W}{m}= -\int_L^{\infty } \frac{G M C_g}{L^2} \, dL=-\frac{G M C_g}{L}\tag{17 - 50}\end{equation*}$$
相同宇宙单元组成的宇宙中空间一点的重力加速度和引力势的解析式
$$\begin{equation*}g = \frac{GM}{L^{2}} C_\mathrm{g} , V = - \frac{ GM}{L} C_\mathrm{g} \tag{17 - 51}\end{equation*}$$
对B1点和B2点的应用上式
$$\begin{equation*}V_\mathrm{s} = - \frac{ GM}{L_\mathrm{s}} C_\mathrm{g} \tag{17 - 52}\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}V_\mathrm{e} = - \frac{ GM}{L_\mathrm{e}} C_\mathrm{g} \tag{17 - 53}\end{equation*}$$
约定B1点的光线频率是$\nu_\mathrm{s}$,B2点的光线频率是$\nu_\mathrm{e}$,根据红移值的定义
$$\begin{equation*}z = \frac{\nu_\mathrm{e} - \nu_\mathrm{s}}{\nu_\mathrm{s}} = \frac{\nu_\mathrm{e}}{\nu_\mathrm{s}} - 1 \tag{17 - 54}\end{equation*}$$
上式中
$$\begin{equation*}Δ\nu = \nu_\mathrm{e} - \nu_\mathrm{s} \tag{17 - 55}\end{equation*}$$
当$Δ\nu < 0$时,天文望远镜看到的光线波长增加、频率降低,光谱的谱线红移.
当$Δ\nu > 0$时,天文望远镜看到的光线波长变短、频率升高,光谱的谱线蓝移.
根据周期和频率关系可得
$$\begin{equation*}\nu_\mathrm{e} = \frac{1}{T_\mathrm{e}} , \nu_\mathrm{s} = \frac{1}{T_\mathrm{s}} \tag{17 - 56}\end{equation*}$$
参考[40],引力势与时间关系
$$\begin{equation*}T = \sqrt{1 + \frac{2 V}{c^{2}}} \tau \tag{17 - 57}\end{equation*}$$
上式中,$\tau$是指引力势为0的位置光线的电磁波周期,$T$指的是在引力势是$V$的位置光线的电磁波周期,$c$是光速.
对B1点和B2点的应用上式
$$\begin{equation*}T_\mathrm{e} = \sqrt{1 + \frac{2 V_\mathrm{e}}{c^{2}}} \tau , T_\mathrm{s} = \sqrt{1 + \frac{2 V_\mathrm{s}}{c^{2}}} \tau \tag{17 - 58}\end{equation*}$$
联合17 - 54、17 - 56、17 - 58式
$$\begin{equation*}z = \frac{\sqrt{1 + \frac{2 V_\mathrm{s}}{c^{2}}}}{\sqrt{1 + \frac{2 V_\mathrm{e}}{c^{2}}}} - 1 \tag{17 - 59}\end{equation*}$$
对于弱引力场
$$\begin{equation*}2 V / c^{2} ≈ 0 \tag{17 - 60}\end{equation*}$$
对$\sqrt{1 + x}$在$x = 0$处使用泰勒公式进行展开
$$\begin{equation*}\operatorname{Series} \left[\sqrt{1 + x} , \left\{ x , 0,1 \right\}\right] = 1 + \frac{x}{2} + O [x]^2 \tag{17 - 61}\end{equation*}$$
忽略掉高次项
$$\begin{equation*}\sqrt{1 + x} ≈ 1 + \frac{x}{2} \tag{17 - 62}\end{equation*}$$
应用17 - 62式对17 - 59式进行化简
$$\begin{equation*}z = \frac{\sqrt{1 + \frac{2 V_\mathrm{s}}{c^{2}}}}{\sqrt{1 + \frac{2 V_\mathrm{e}}{c^{2}}}} - 1 = \frac{1 + \frac{V_\mathrm{s}}{c^{2}}}{1 + \frac{V_\mathrm{e}}{c^{2}}} - 1 = \frac{1 + \frac{V_\mathrm{s}}{c^{2}} - 1 - \frac{V_\mathrm{e}}{c^{2}}}{1 + \frac{V_\mathrm{e}}{c^{2}}} = \frac{\frac{V_\mathrm{s}}{c^{2}} - \frac{V_\mathrm{e}}{c^{2}}}{1 + \frac{V_\mathrm{e}}{c^{2}}} \tag{17 - 63}\end{equation*}$$
上式中
$$\begin{equation*}1 + \frac{V_\mathrm{e}}{c^{2}} ≈ 1 \tag{17 - 64}\end{equation*}$$
进一步化简可得
$$\begin{equation*}z = \frac{V_\mathrm{s} - V_\mathrm{e}}{c^{2}} \tag{17 - 65}\end{equation*}$$
把17 - 52、17 - 53式代入上式
$$\begin{equation*}z = \frac{GM C_\mathrm{g} }{c^{2}} ( \frac{1}{L_\mathrm{e}} - \frac{1}{L_\mathrm{s}} ) \tag{17 - 66}\end{equation*}$$
假设光线从B1点到达B2点经历的时间是$t$,这段时间宇宙膨胀速度近似平均,大小为$v_\mathrm{avg}$,可得光线的出发点和接受点的宇宙单元尺寸关系
$$\begin{equation*}L_\mathrm{e} = L_\mathrm{s} + v_\mathrm{avg} t \tag{17 - 67}\end{equation*}$$
上式代入17 - 66式
$$\begin{equation*}z = \frac{GM C_\mathrm{g} }{c^{2}} ( \frac{1}{L_\mathrm{s} + v_\mathrm{avg} t} - \frac{1}{L_\mathrm{s}} ) \tag{17 - 68}\end{equation*}$$
红移值中,其他系数都是常量,提取其中的变量因式,命名为
$$\begin{equation*}C_\mathrm{zt} = \frac{1}{L_\mathrm{s} + v_\mathrm{avg} t} - \frac{1}{L_\mathrm{s}} \tag{17 - 69}\end{equation*}$$
选取适当的数值代入
| $\begin{flalign}C_\mathrm{zt} / . \left\{ L_\mathrm{s} \rightarrow 1 , v_\mathrm{avg} \rightarrow 0.01 \right\}\end{flalign}$ |
| $\begin{flalign}- 1 + \frac{1}{1 + 0.01 t}\end{flalign}$ |
绘制$C_\mathrm{zt}$的函数图像
图80 $C_\mathrm{zt}$的函数图像$\left( 0 ≤ t ≤ 5000 \right)$
Figure 80 Graph of the function of $C_\mathrm{zt}$ when $\left( 0 ≤ t ≤ 5000 \right)$
由图像可得$C_\mathrm{zt}$存在一个极限,求这个极限
$$\begin{equation*}\lim_{t \rightarrow \infty} ( - \frac{ 1}{L_\mathrm{s}} + \frac{1}{L_\mathrm{s} + t v_\mathrm{avg}} ) = - \frac{ 1}{L_\mathrm{s}} \tag{17 - 70}\end{equation*}$$
对应的红移最大值(以绝对值作为比较标准)
$$\begin{equation*}z_{\text{max}} = - \frac{ GM C_\mathrm{g} }{c^{2}} \frac{1}{L_\mathrm{s}} \tag{17 - 71}\end{equation*}$$
选取较短的时间长度,重新绘制$C_\mathrm{zt}$的函数图像
图81 $C_\mathrm{zt}$的函数图像$\left( 0 ≤ t ≤ 100 \right)$
Figure 81 Graph of the function of $C_\mathrm{zt}$ when $\left( 0 ≤ t ≤ 100 \right)$
观察图像可得,红移值在此时接近一条直线,可以用直线方程模拟,约定直线的斜率是$H_\mathrm{G}$,用$z_\mathrm{G}$表示引力红移
$$\begin{equation*}z_\mathrm{G} = H_\mathrm{G} t \tag{17 - 72}\end{equation*}$$
光线从B1点到达B2点传播的距离用$D$表示,可以得到$D$与$t$的关系
$$\begin{equation*}t = \frac{D}{c} \tag{17 - 73}\end{equation*}$$
联合上面两式可得
$$\begin{equation*}z_\mathrm{G} = \frac{H_\mathrm{G} D}{c} \tag{17 - 74}\end{equation*}$$
前面第16章得到的三维空间宇宙动点速度的梯度平均大小用$H_\mathrm{D}$来表示
$$\begin{equation*}H_\mathrm{D} = \overline{ \left\| A_\mathrm{xyz} \right\| } \tag{17 - 75}\end{equation*}$$
用$z_\mathrm{D}$表示多普勒红移,易得
$$\begin{equation*}z_\mathrm{D} = \frac{H_\mathrm{D} D}{c} \tag{17 - 76}\end{equation*}$$
宇宙学红移由多普勒红移和引力红移两部分叠加而成
$$\begin{equation*}z = z_\mathrm{G} + z_\mathrm{D} \tag{17 - 77}\end{equation*}$$
把17 - 74、17 - 76式代入上式
$$\begin{equation*}z = \frac{H_\mathrm{G} + H_\mathrm{D}}{c} D \tag{17 - 78}\end{equation*}$$
当$v ≪ c$时,第9章得到结论
$$\begin{equation*}z = \frac{H_{0} D}{c} \tag{9 - 8}\end{equation*}$$
由9 - 8、17 - 78式可得
$$\begin{equation*}H_{0} = H_\mathrm{G} + H_\mathrm{D} \tag{17 - 79}\end{equation*}$$
上式说明,哈勃常数是由两部分组成的,分别是多普勒红移常数和引力红移常数.
前面分析引力红移是基于光线的出发点和观测点在宇宙单元相对坐标(相对位置)相同的假设.考虑出发点和观测点在宇宙单元相对坐标不同情况下,前面得出的公式由精确数值相等变成近似相等.这个时候要考虑到因宇宙单元相对位置变化引起的引力势的变化,引力势的变化同时会改变引力红移的大小.结合概率论的分析可得,最后的红移函数图像是围绕一个曲线的散点,散点与拟合曲线之间差值可以用宇宙单元相对位置变化作为解释的原因.实际天文观测的宇宙学红移函数图像散点与拟合曲线之间差值还有其他的因素,如观测星系排除宇宙膨胀速度的运动速度带来的多普勒红移.
$$\begin{equation*} \left\{ z , z_\mathrm{G}\uparrow \right\} \xrightarrow{\displaystyle z = z_\mathrm{G} + z_\mathrm{D}} z_\mathrm{D} \downarrow \xrightarrow{\displaystyle {z_\mathrm{D} = ( 1 + \frac{v}{c} ) \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} - 1}} v \downarrow \xrightarrow{\displaystyle E = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} c^{2}} E \downarrow \tag{17 - 80}\end{equation*}$$
GN-z11星系相对于我们的径向退行速度接近光速,GN-z11星系因速度增加对应的能量非常巨大产生的矛盾,从来红移值的来源上得以解决.哈勃常数的定义是,在不考虑引力红移的情况下,远处星系光线的红移值对应的退行速度相对于空间的梯度.随着远处星系与太阳系距离的增加,对应区域的哈勃常数也会增加.目前天文学上测得的哈勃常数值,仅仅适用于与我们太阳系的距离较近,引力红移可以忽略不计的区域.值得一提的是,目前的球状膨胀宇宙模型和正方体堆砌宇宙单元模型其中包含一个假设,就是宇宙的总质量不变和暗物质与物质比例不变,并没有考虑宇宙总质量和暗物质与物质比例随着时间变化的情况.在可观测宇宙只是球状膨胀宇宙很小的一部分,宇宙总质量和暗物质与物质比例在人类可探测时间范围之内近似相等的条件下,这种理想模型是成立的.
向量化的三维空间宇宙动点速度的梯度是一个椭球体,在不同的情况下分别是扁椭球体、长椭球体和球体.球状膨胀宇宙切向速度的梯度和径向速度的梯度一般是不相等的,这种情况下宇宙单元一个两个面是正方形的长方体.根据17 - 68式,以红移值的绝对值为大小比较基准,引力红移比例常数的绝对值随着B2的宇宙单元相应方向的尺寸增大而增大.宇宙动点速度的梯度越大的方向,退行速度就越大,对应方向的尺寸就越大.向量化的引力红移常数形状和向量化的三维空间宇宙动点速度的梯度的形状应当是一致的.二者叠加的效果,向量化的哈勃常数,在不同的情况下分别是扁椭球体、长椭球体和球体.